行列式的多种计算方法

1 例文一 ：行列式的计算方法介绍 7 种常用方法1 三角化方法： 通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式. 例 1 计算 n+1 阶行列式xaaaaaxaaaaxDnnn321212112 把某一行（列）尽可能化为零例 2 计算：yyxxD222222222222222243 递归法（数学归纳法） ：设法找出 Dn 和低级行列式间的关系，然后进行递归. 2 例 4 证明：1110000010001000nnnD例 5 证明范德蒙行列式（n 2）njijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV111312112232221321)(11114 加边法： 对行列式 Dn 添上一适当行和列，构成行列式Dn+1，且 Dn+1=D n例 6 证明：)11(11111111111111111111121321niinnnaaaaaaaaD3 5 拆分法： 将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列） 元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和例 7 设 abcd=1,求证：011111111111122222222ddddccccbbbbaaaa6 利用行列式的乘积： 为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式；或把 D 拆分为两个行列式的积. 例 8（ 1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121nnnnnnD4 （2）设 Sk=1k+2k++nk(k=1,2⋯),求证：njijinnnnnnnsssssssssssssssn1222111432321121)(7 利用拉普拉斯定理求行列式的值. 拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列） 展开定理的推广 . 定义 (1) 在 n 阶行列式 D 中，任取 k 行 k 列(1 k n),位于这 k 行 k 列交叉处的 k2 个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式 S，称为 D 的一个 k 阶子式 .如：D=3751485210744621则 D 的一个 2 阶子式为： S=82615 在一个 n 阶行列式中， 任取 k 行，由此产生的 k 阶子式有 Ckn 个. (2) 设 S 为 D 的一个 k 阶子式，划去 S 所在的 k 行 k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的 n-k 阶行列式 M 称为 S 的余子式 .又设 S 的各行位于D 中的第 i1,i2⋯ik 行， S 的各列位于 D 中的第 j1,j 2⋯jk 列，称A=(-1)(i1+i2+ ⋯+ik)+(j1+j2+ ⋯+jk) M. 如：3751485210744621则 D 的一个 2 阶子式为： S=8261M=3517为 S 的 2 阶子式M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为 S 的代数余子式 . 6 拉普拉斯定理 :若在行列式D 中任取 k 行(1 k n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例 9 计算2100012100012100012100012D例 10 块三角...