解圆锥曲线问题常用方法与结论分析

1 FAPHBQ解圆锥曲线问题常用方法与结论1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221，当 r1>r2 时，注意 r2 的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y1),B(x 2,y2),弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，将点 A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后， 产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的 “设而不求”法，具体有：（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，则有02020kbyax。（2）)0,0(12222babyax与直线 l 相交于 A 、B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)则有02020kbyax（3）y2=2px（p>0）与直线 l 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y0),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p. 【典型例题 】例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,42 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 ______________ (2) 抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。分析：（1） A 在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当 A 、P、F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作QR⊥l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2 ）连 PF，当A、P、F 三点共线时，PFAPPHAP最小，此时AF 的方程为)1(13024xy即y=22 (x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,22 )，（注：另一交点为(2,21)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）2 xy0ABCMD5F′FPHy0xA（2）（1,41）过 Q 作 QR⊥ l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时，QRBQQFBQ最小， 此时 Q 点的...