1 第七讲容斥定理1 两集合容斥定理如果被计数的事物有A、B 两类 , 那么 ,A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数 + 属于 B 类元素个数—既是A 类又是 B 类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B) 2 三集合容斥定理如果被计数的事物有A、B、 C三类 , 那么 ,A 类和 B 类和 C类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数 +C类元素个数—既是A类又是 B类的元素个数—既是A类又是 C类的元素个数—既是B 类又是 C类的元素个数 +既是 A 类又是 B 类而且是 C类的元素个数。三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A ∩B - B ∩C - C ∩A +A∩B∩ C 2 教学重点：两集合容斥定理找对 A BA ∪B A∩ B教学难点：三集合容斥定理例 1. 某区 100 个外语教师懂英语或俄语, 其中懂英语的75 人, 既懂英语又懂俄语的20 人, 那么懂俄语的教师为人. 答案 45 解析： 依题意 , 被计数的事物懂英语的教师和懂俄语的教师有两类, 懂英语的教师称为“A 类元素” , 懂俄语的教师称为“B类元素” , 设懂俄语的教师为x 人A∪B = A+B - A∩ B=75+x-20=100 X=45 例 2. 有长 8 厘米 , 宽 6 厘米的长方形与边长为5 厘米的正方形 , 如图 , 放在桌面上 ( 阴影是图形的重叠部分 ), 那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米. 答案 67 解析 : 依题意 , 被计数的事物长方形的面积与正方形的面积有两类, 长方形的面积称为“A类元素” , 正方形的面积称为“B类元素” , A∪B = A+B - A∩ B=6×8+5×5-4 ×3×1/2=67 例 3. 求不超过 20 的正整数中是2 的倍数或 3 的倍数的数共有多少个。8 6 5 4 3 3 答案 13 解析： 依题意 , 被计数的事物不超过20 的正整数中是2 的倍数与不超过20 的正整数中是3的倍数有两类 , 不超过 20 的正整数中是2 的倍数称为“ A 类元素” , 不超过 20 的正整数中是3 的倍数称为“ B 类元素” , A=20÷2=10 B=20÷3=6⋯⋯ 2 A∩B=20÷6=3⋯⋯ 2 A∪B = A+B - A∩ B=10+6-3=13 例 4. 一个班有 42 人, 参加合唱队的有30 人, 参加美术组的有25 人, 有 5 人什么都没有参加,求两种都参加的有多少人？答案 8 解析：依题意 , 被计数的事物有参加合唱队, 美术组两类 , 参加合唱队” 称为“A 类元素” ,“参加美术组”称为“B类元素” , A∪B = A+B - A∩...
