专题 06 函数的奇偶性与周期性1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．一、函数的奇偶性奇偶性偶函数定义如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝图象特点关于 y 轴对称f(x)，那么函数 f(x)是偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－奇函数二、周期性f(x)，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称1．周期函数对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．高频考点一判断函数的奇偶性例 1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝ 3－x ＋ x －3；lg（1－x ）(2)f(x)＝；|x－2|－2x ＋x，x<0，(3)f(x)＝2－x ＋x，x>0.2222- 1 -3－x ≥0，2解(1)由2得 x ＝3，解得 x＝± 3，x －3≥0，2即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}，从而 f(x)＝ 3－x ＋ x －3＝0.因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，22则 f(－x)＝－(－x) －x＝－x －x＝－f(x)；当 x>0 时，－x<0，则 f(－x)＝(－x) －x＝x －x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数．【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或2222f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin 2x1xC．y＝2 ＋x2 B．y＝x －cos x22 D．y＝x ＋sin x(2)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确- 2 -的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数【解析】(1)对于 A，定义域为 R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于 B，定义域为 R，f(－x)＝(－x) －cos(－x)＝x －cos x＝f(x)，为偶函数；对于 C，定义域为 R，f(－x)＝2 ＋数...
