八年级数学竞赛例题专题：等腰三角形

八年级数学竞赛例题专题等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等．2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例 1】如图，在△ABC 中，AB=7，AC=11，点 M 是 BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则 CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”．AFBD MC【例 2】如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，则 AC 与 2AB 之间的关系是（）A．AC＞2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B=2∠C，如何得到 2AB，这是解本题的关键．ABC【例 3】两个全等的含 300，600 角的三角板 ADE 和三角板 ABC，如图所示放置，E、A、C 三点在一条直线上，连结 BD，取 BD 中点 M，连结 ME，MC，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．MDECBA【例 4】如图，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交AC 于 F，求证：AF=EF．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠FAE=∠AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．AFEBCD【例 5】如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=200，在边 AB 上取点 D，使 AD=BC，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为 300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为 600，600 使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图 1，以 BC 为边在△ABC 内作等边△BCO；如图②，以 AC 为边作等边△ACE．AADADEDBOBCC图 1BC 图 2能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点 A 所引 BC 边的高线恰等于 BC 边长的一半，则∠BAC=__________．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C=900...