高考数学中的内切球和外接球问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ . 27 .例 2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为______________. 4 3 .2、求长方体的外接球的有关问题例 3 (2007 年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为 .14 .例 4、(2006 年全国卷 I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积为(). C.A. 16 B. 20 C. 24 D. 323.求多面体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的9顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为8 ,底面周长为3,则这个球的体积为 .解设正六棱柱的底面边长为 x ,高为 h ,则有6x 3,1x ,98 634 x2h,21h 3.r ∴正六棱柱的底面圆的半径2 ,球心到底面的d 32r d1 V4距离.∴外接球的半径R 22球 .3 .二、构造法(补形法)1、构造正方体例 5 (2008 年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3 ,则其外接球的表面积是_______________.9解据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为 3 的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球22的半径为 R ,则有2R 3 32 32 9R2 9.∴4 .故其外接球的表面积S 4 R2 9 .小结一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a、b、c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ,则有2R a2 b2 c2 .出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。【例题】:在四面体中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。解:因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以:四面体外接球的直径为的长即:所以球的表面积为例 6.一个四面体的所有棱长都为2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为()A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6解析:一般解法,需设出球心,...