内切球和外接球例题

高考数学中的内切球和外接球问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 27 .例 2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为______________. 4 3 .2、求长方体的外接球的有关问题例 3 （2007 年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 .14  .例 4、（2006 年全国卷 I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为（）. C.A. 16 B. 20 C. 24 D. 323.求多面体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的9顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 ，底面周长为３，则这个球的体积为 .解设正六棱柱的底面边长为 x ，高为 h ，则有6x  3,1x ,98  634 x2h,21h 3．r ∴正六棱柱的底面圆的半径2 ，球心到底面的d 32r  d1 V4距离.∴外接球的半径R 22球 .3 .二、构造法(补形法)1、构造正方体例 5 （2008 年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是_______________.9解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为 3 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球22的半径为 R ，则有2R  3  32  32  9R2  9.∴4 .故其外接球的表面积S  4 R2  9 .小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2R a2  b2  c2 .出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即：所以球的表面积为例 6.一个四面体的所有棱长都为2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6解析：一般解法，需设出球心，...