第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)

周六自主招生培训讲座 1 第一讲：凸函数与琴生不等式 一、函数的凹凸性： 定义：设连续函数( )f x 的定义域为 (a，b)，如果对于 (a，b)内任意两数x1，x2，都有 1212( )()()22xxf xf xf ① 则称( )f x 为 (a，b)上的下凸函数． 注：①若把①式的不等号反向，则称这样的( )f x 为区间 (a，b)上的上凸函数．（或凹函数） ②下凸函数的几何意义：过( )yf x曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上 方（或曲线上）． ③( )f x 的二阶导数''( )0fx ，则( )f x 为下凸函数； ( )f x 的二阶导数''( )0fx ，则 ( )f x 为上凸函数。 常见的上凸（凹）函数，0= sin, = cos, = ln sin, = ln cos2yx yx yx yx，上， 常见的（下）凸函数，2310 +=, =, =, =nny x y x y x yx，上， 二、琴生不等式性质： 若)(xf在区间 I 为下凸函数，则对Ixxxn ,,,21， 总有nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121； 当且仅当12nxxx时取到等号。 若)(xf在区间 I 为上凸函数，则对Ixxxn ,,,21， 总有nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121。 当且仅当12nxxx时取到等号。 三、加权形式：    +12121 1221122R+++=1( ),(++)+++;nnnnnnaaaaaaf xa bf a xa xa xa fxa fxa fx对任意一列 ，，，，，函数是上的凸函数，有   +12121 1221122R+++=1( ),(++)+++.nnnnnnaaaaaaf xa bf a xa xa xa fxa fxa fx对任意一列 ，，，，，函数是上的凹函数，有周六自主招生培训讲座 2 附：应用21)(xxf，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 221322221)(111nnaaanaaa，等号成立条件naaa21。 而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的 222212221)111(nnaaanaaa，等号成立条件naaa21。 常用不等式： 121212121212++++++(t>1);++++++(0