第七章正交小波基的构造

第七章 正交小波基的构造 本章讨论在MRA 框架下如何构造正交小波基。由于 MRA 框架既可以由尺度函数生成，也可以由)(0 H生成，因此我们从两个方面入手讨论构造正交小波基。 本章中，滤波器ng 代表高通滤波器)(1 nh； 滤波器nh 代表低通滤波器)(0 nh； 7 .1 由尺度函数构造正交小波基 1．由正交尺度函数Zkkt )(构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t或)(使Zkkt )(为一组正交基。 （2）求)(nh： )(),()(kttnh (7-1) 或 )()2()(H (7-2) （3）由)(nh求)(ng： 1)1()(nn hng (7-3) 或 )()(HeGj (7-4) （4）由)(ng，)(t构造正交小波基函数)(t： nnntgt)()(,1 (7-5) 或 )2()2()(G (7-6) 例 1 Haar小波的构造 选择尺度函数 其他,010,1)(tt 显然Zkkt )(为一正交归一基，则 其他,01,0,21)2()(2nntxdthn 由式（7-3） 其他,01,210,21)1()(1nnhngnn 可得 其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1ttttt 这就是Haar 小波函数，其波形略。 2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数 要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个 Riesz 基Zkkt )(来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。 首先给出 Riesz 基的定义： 设函数Zkkt )(张成的空间为0V 的 Riesz 基的充分必要条件为存在两常数BA,0，使得对于所有)()(2 ZLCZkk都有 222)(kkkkkkCBktCCA (7-7) 可以证明式（7-7）等价于 BlAl121)2()2()2(0 因此我们可以定义一个)()(2#RLt ，使得 )(])2([)(212#ll 显然，)(# 满足 1)2(2#ll 即 )(#kt是正交基。且)(#kt可以构成 ZjjV的多分辨率分析框架。由此可由)(#kt入手，构造一个正交小波基。 举例（略） 可以证明如下： （1）除了0N时（此时为 Haar 小波）例外，其他)(kt都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程)(# t。 （2）正交的)(# t及其构造的小波函数)(...