第三章代数方程2VIP专享

§2 代数方程的性质 一、多项式与代数方程的一般性质 [代数基本定理] 每个复数域上 n 次代数方程 f(x)=a0xn+a1xn-1++an－1x+an=0 (n  1) 在复数域中至少有一个根. 代数基本定理的推论：每个 n 次代数方程在复数域中有 n 个根，而且只有 n 个根. [多项式的导数] 多项式 f(x)的导数为 f  (x)=na0xn－1+(n－1)a1xn－2++an－1 微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样. [单根与重根] 1° 多项式的单根不是它的导数的根. 2° 多项式的 m 重根（即有 m 个根相同）是它的导数的 m－1 重根（m>1）. 3° 若 x1,x2,,xk 分别为 f (x)的α1,α2,,αk(α1+α2++αk=n)重根，则 f (x)=a0(x－x1)1 (x－x2)2 (x－xk)k [洛尔定理及其推论] 由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程 f (x)=0 的两个实根之间总有 f  (x)=0 的一个实根. 从这个定理可推出下列两个推论： 1° 若 f(x)的一切根都是实的，则 f  (x)的一切根也是实的.在 f(x)的相邻两根之间有 f  (x)的一个根并且是一个单根. 2° 若 f(x)的一切根都是实的，且其中有 p 个（计算重根）是正的，则 f  (x)有 p 个或 p－1 个正根. [多项式的相关] 1° 若多项式 f (x), (x)的次数都不超过 n，而它们对 n+1 个不同的数α1,,1n有相等的值，即 f(αi)= (αi) (i=1,,n+1),则 f (x)=  (x). 2° 多项式 f (x)和 (x)的根完全相同的充分必要条件是 f (x)和 (x)只差一个不等于零的常数因子. [整根与有理根] 任意整系数方程 f (x)=0，若有一个有理根qp （为既约分数），则 p 是αn的约数，q 是α0 的约数. 由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为 1，则它的有理根必为整数. [实根与复根，共轭实根与共轭复根] 1° 任意有理系数方程 f (x)=0，若有一个根 a+b (a,b 是有理数，b 是无理数)，则必有另一个根 a－b .这时 a+b 与 a－b 称为一对共轭实根. 2° 任意实系数方程 f (x)=0 的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数. 3° 任意实系数奇数次方程 f (x)=0 至少有一个实根. 4° 任意实系数偶数次方程 f (x)=0,a0an<0,则至少有两个实根（一个正根和一个负根）. [根与系数...