第三章微分中值定理与导数的应用习题解答

1 第三章 微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数 xxfarctan)(在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是4． （２）设)5)(3)(2)(1()(xxxxxf，则0)( xf有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(xf在],[ba 上连续，在),(ba 内可导，且)()(bfaf，是)(xf在),(ba 内至少存在一点 ，使0)( f成立的（ B ）． A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A. xexf)( B. ||)(xxf C. 21)(xxf D. 0 ,00 ,1sin)(xxxxxf 2 （３）若)(xf在),(ba 内可导，且21xx 、 是),(ba 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）． A． ),()()()()(2112bafxxxfxf B． )()()()(2121fxxxfxf在12,x x 之间 C． 211221)()()()(xxfxxxfxf D． 211212)()()()(xxfxxxfxf 3．证明恒等式：)(2cotarctanxxarcx． 证明： 令xarcxxfcotarctan)(，则01111)(22xxxf，所以)(xf为一常数． 设cxf)(，又因为(1)2f ， 故 )(2cotarctanxxarcx． 4．若函数)(xf在),(ba 内具有二阶导数，且)()()(321xfxfxf，其中12axx 3xb ，证明:在),(31 xx内至少有一点，使得0)( f． 证明：由于)(xf在],[21 xx上连续,在),(21 xx可导,且)()(21xfxf，根据罗尔定理知，存在),(211xx， 使0)(1  f． 同理存在),(322xx，使0)(2  f． 又)(xf  在],[21 上 符合罗尔定理的条件，故有),(31 xx，使得0)( f． 5． 证明方程062132xxx有且仅有一个实根． 3 证明：设621)(32xxxxf， 则031)2(,01)0(ff，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(， 使得0)(f．另一方面，假设有),(,21xx，且21xx  ，使0)()(21xfxf，根据罗尔定理，存在),(21 xx使0)( f，即02112 ，这与02112 矛盾．故方程062132xxx只有一个实根． 6． 设函数)(xf的导函数)(xf  在],[ ba 上连续，且0)(,0)(,0)(bfcfaf，其中c...