第三节最小二乘估计量的性质

1 第三节 最小二乘估计量的性质 三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性 一、 线性特性的含义 线性特性是指参数估计值1ˆ 和2ˆ 分别是观测值tY 或者是扰动项t 的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用tY 或者是t 来表示。 1、2ˆ 的线性特征证明 （1）由2ˆ 的计算公式可得： 222222()ˆttttttttttttttttx yxYxYxxxxxxxxYYYY 需要指出的是，这里用到了 1()0ttttttxXXXXnXx 因为tx 不全为零，可设 2tttxbx ，从而，tb 不全为零，故2ˆttb Y 。这说明2ˆ 是tY 的线性组合。 （2）因为12tttYX，所以有 212122ˆttttttttttttbbXbb XbbY 这说明2ˆ 是t 的线性组合。 需要指出的是，这里用到了 2 220tttttxxbxx 以及 2222222201ttttttttttttttttxxXxb XXxxxx XxXxxxxx 2、1ˆ 的线性特征证明 （1）因为12ˆˆYX，所以有 121ˆˆ1tttttYXYXbnX bnYY 这里，令1aX bn，则有1ˆta  Y 这说明1ˆ 是tY 的线性组合。 （2）因为回归模型为12tttYX，所以 11212ˆttttttttttaaXaa XaY 因为111tttaX bXbnn。而 110ttttttta XX bXXXb XnnXX 所以，11ˆtta  这说明1ˆ 是t 的线性组合。 至此，参数的线性特性证明完毕。 问题参数估计值线性特性的深层次含义是什么？要根据被解释变量、 3 随机扰动项和的随机性来理解。 二、 无偏性的含义 所谓无偏性是指估计值的均值等于真实值。在这里，无偏性是指参数估计值1ˆ 和2ˆ 的期望值分别等于总体参数1 和2 。其数学上要求是  11ˆE 和 22ˆE 。 证明：根据参数估计值的线性特征，我们推导出： 11ˆtta ，所以有：  111111ˆttttttttEEaEEaEEaEEaEE 相似地，22ˆttb ...