第三讲连续与一致连续典型例题

第三讲 连续与一致连续 一 内容提要 1.函数在一点的连续性 若 函 数)(xf在0x处 的 邻 域 内 有 定 义 ，)(xf在 点0x连续0lim0yx)()(lim00xfxfxx)lim()(lim00xfxfxxxx,0,0使得00:xxx，有)()(0xfxf． 注 1 若)()(lim00xfxfxx，则称函数)(xf在0x 右连续；若)()(lim00xfxfxx，则称函数)(xf在0x 左连续． )(xf在点0x 连续)(lim0xfxx)()(lim00xfxfxx． 注 2 设)(xf定义于区间 I ，Ix 0，则)(xf在0x 连续的充要条件是 Ixxxxxnnnnn,|}{}{0，有)()(lim0xfxfnn 称之为连续的海涅归结原则． 注 3 初等函数在有定义的地方处处连续． 2 ．间断点的分类 若函数)(xf在0x 处的某个空心邻域内有定义，)(xf在点0x 处无定义，或)(xf在点0x 有定义而不连续，则称点0x 为函数)(xf的间断点． 第一类间断点 （1）可去间断点：)0(0 xfAxf)0(0，)(xf在点0x 处无定义，或有定义但Axf)(0． （2）跳跃间断点：)0(0 xf)0(0 xf． 第二类间断点 )0(0 xf，)0(0 xf中至少有一个不存在． 3 ．连续函数的局部性质 （1）若函数)(xf在点0x 连续，则0,M，使得00:xxx，有Mxf)(． （2）若函数)(xf在点0x 连续，且)(0xf，则0，使得00:xxx，有)(xf． （3）四则运算：若函数)(xf，)(xg均在点0x 连续，则 )(xf)(xg，)(xf)(xg，)()(xgxf（ 0)(xg）在点0x 连续． （4）若函数)(xf在点0x 连续，)(xg在点0u 连续，且)(00xfu ，则 )(lim0xfgxx)(lim0xfgxx)(0xfg 即函数)(xfg在点0x 连续．（会证明） 4 闭区间上连续函数的整体性质 （1）有界性定理：若)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上有界． （2）最值定理：若)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上能取得最大值M 和最小值m ． （3）介值定理：若)(xf在],[ba上连续，则],[),(ba，)(xf可取介于)(f与)(f之间的一切值． （4）零点定理：若)(xf在],[ba上连续，且0)()(bfaf，则在区间),(ba内至少存在一点 ，使得 0)(f． 注1 闭区间上连续函数的整体性质在整个分析理论中具有重要性． 注2 介值定理和零点定理是讨论方程 0)(xf的根的重要工具． 5 一致连续性 设函数)(xf在区间I 上有定义，若对,0)(,0...