第二章初等数学模型VIP专享

第三章 初等数学模型 所谓初等数学模型主要是指建立模型所用的数学知识和方法主要是初等的，而不是高等的。在解决实际问题的过程中，往往主要是是看解决问题的效果和应用的结果如何，而不在于用了初等的方法还是高等的方法，对于数学建模也是这样。本章介绍了量纲分析法、比例与函数建模法，并给出了相应的一些模型。 第一节 量纲分析法 量纲分析提出于20 世纪初，是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 1 .1 量纲齐次原则 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度l ， 质量m 和时间t的量纲作为基本量纲，记为   TtMmLl,,； 而速度fv ，力 的量纲可表示为  21 ,MLTfLTv. 在国际单位制中，有 7 个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为 L、M、T、I、 、J、和N，称为基本量纲。任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，  JNITMLq 量纲齐次性原则 用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系。 先看一个具体的例子，再给出。 1 .2 量纲分析的一般方法 例 1 （单摆运动）质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。 解：在这个问题中有关的物理量有glmt,,,设它们之间有关系式 3211glmt  ---------------（1.1） 其中32 ,,为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（1.1）式的量纲表达式有      321glmt  整理得：33212TLMT --------------（1.2） 由量纲齐次原则应有 12003321 ---------------（1.3） 解得：,21,21,0321 代入（3．1）得 glt -------（1.4） （1.4）式与单摆的周期公式是一致的 1.3 Buckingham Pi 定理 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理， 定理（Buckingham Pi 定理） 设n个物理量nxxx,,,21之...