第五章傅里叶函数

第五章 傅里叶函数 §5.1 傅里叶级数 以上函数是将其展为幂级数，除此外，还有一个常见的情况是将函数展为三角级数（每一项是三角函数），三角函数是周期性。 一般是周期性函数展为三角级数 一．周期函数的傅里叶展开 1、周期是 2 的函数即 f(x)=f(x+2 )的三角展开为： f(x)=0a +1(cossin)kkkakxbkx 其中：ka =1( )cosfk d  kb =1( )sinfkd  „„„(1) 0a =1( )2fd 2、周期为 2 的函数，即 f(x)=f(x+2 )的三角展开和傅里叶展开： f(x)=0a +1(cossin)kkkkxkxab 其中：系数：0a =1( )cos2kfd  ka =1( )coskfd „„„(2) kb =1( )sin kfd  可将0a 、ka 合并后来表示：ka =1( )coskkfd  k=0、1、2„„ 其中：k = 2..................0.1.....................k0k 时 3、三角级数的性质 （1）、周期性 （2）、正交性： 指的是： 1coscosknd   = 1.................. 0.....................kknn当 „„(3) 1sinsinknd   = 1.................. 0.....................kknn当 (3)、完备性 1sinsinknd  =0 略„„ 完备方程： 当 n 时，对一致连续 f(x)： 2( )f xdx =222200cossin.......(4)kkkkk xk xab （4）、狄里希里定理（傅氏级数的收敛性） 周期函数( )f x 若满足：（1）处处连续或在每个周期只有有限个第一关键断点。 （2）、处处连续或在每个周期只有有限个极值。 则( )f x 展开的傅氏级数收敛，且： 级数和 = ( )................(5)1(0)(0) ..........2f xf xf x连续点间断点 二、奇函数和偶函数的傅里叶展开 1、若周期函数 f(x)是奇函数，则因为傅氏展开成0a =0 ka =0 因为三角级数中，没有余弦级数项。 k=112( )sin( )sin........(6)f(x)=sinkkk xk xbfdfdk xb而因为 特点：奇函数在x=0和x= 处为零：f(0)=f( )=0 2、对于偶函数： 因为 kb =( )sin k xfd ...