基本不等式专题辅导

基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若a,b  R ，则a  b  2ab22a 2  b 2（2）若a,b  R ，则ab 22、基本不等式一般形式（均值不等式）*若 a,b  R ，则a  b  2 ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若a,b  R ，则**a  b ab22a  b （2）若a,b  R ，则ab  2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当 a  b 时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1  2 (当且仅当 x 1时取“=”）x1（2）若 x  0 ，则 x  2 (当且仅当 x  1 时取“=”）x（1）若 x  0 ，则 x （3）若ab  0 ，则 a  b  2 (当且仅当a  b 时取“=”）baa  b2a2  b2（4）若a,b  R ，则ab  () 22a  b（5）若a,b  R ，则ab 112ab*1a2  b22特别说明：以上不等式中，当且仅当a  b 时取“=”6、柯西不等式（1）若a,b,c,d  R ，则(a  b )(c  d )  (ac  bd)（2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3  R ，则有：22222(a12  a22  a32)(1b12  b22  b32)  (a1b1  a2b2  a3b3)2（3）设a1,a2,,an与b1,b2,,bn 是两组实数，则有(a12  a22    an2)(b12  b22    bn2)  (a1b1  a2b2    anbn)2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设a,b 均为正数，证明不等式:ab ≥ 211ab2、已知a,b,c 为两两不相等的实数，求证：a3、已知a  b  c 1，求证：a  b  c 4、已知a,b,c R ，且a  b  c 1，求证：(1 a)(1b)(1 c)  8abc5、已知a,b,c R ，且a  b  c 1，求证：6、（2013 年新课标Ⅱ卷数学（理）选修 4—5：不等式选讲设 a,b,c 均为正数,且a  b  c 1,证明:2  b 2  c 2  ab  bc  ca22213 1 1 1111  8a b c1a2b2c2(Ⅰ)ab  bc  ca ; (Ⅱ)1.3bca7、（2013 年江苏卷（数学）选修 4—5：不等式选讲已知a  b  0 ，求证:2a  b  2ab  a b...