有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的 y=f［g(x)］叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数 y=kx+b(k≠0).解当 k＞0 时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0 时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.k2.反比例函数 y= x (k≠0).解当 k＞0 时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当 k＜0 时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.23.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0).bb解当 a＞1 时(－∞，－ 2a )是这个函数的单调减区间，(－ 2a ，+∞)是它的单调bb增区间；当 a＜1 时(－∞，－ 2a )是这个函数的单调增区间，(－ 2a ，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数 y=ax(a＞0，a≠1).解当 a＞1 时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1 时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数 y=logax(a＞0，a≠1).解当 a＞1 时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1 时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理 1 ：已知函数 y=f［g(x)］.若 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数 y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2，使 a＜x1＜x2＜b.因为 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以 g(x1)＜g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1＜u2,且 u1,u2∈(c,d).因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以 f(u1)＜f(u2),即 f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数 y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理 2：已知函数 y=f［g(x)］.若 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数 y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2，使 a＜x1＜x2＜b.因为函数 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以 g(x1)＞g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且 u1,u2∈(c,d).因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以 f(u1)＜f(u2),即 f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数 y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.1规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为...
