大学微积分知识点总结

【第五部分】不定积分1.书本知识（包含一些补充知识）（1）原函数：F’（x）=f（x），x∈I，则称 F（x）是 f（x）的一个“原函数”。（2）若 F（x）是 f（x）在区间上的一个原函数，则f（x）在区间上的全体函数为 F（x）+c（其中 c 为常数）（3）基本积分表 x dx 1 x1  c（α≠1，α 为常数） 1（4）零函数的所有原函数都是 c（5）C 代表所有的常数函数（6）运算法则数乘运算① a f (x)dx  a f (x)dx②f (x)  g(x)dx   f (x)dx  g(x)dx加减运算线性运算（7）复合函数的积分： f (x)'(x)dx  F(x) c一般地， f (ax  b)dx  11 f (ax  b)d(ax  b)  F(ax  b)  caa（8） f (x  b)dx  F(x  b)  c（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。（10）不定积分的计算方法①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性③分部积分法：【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应：y=f(u)说明：（11）分段函数的积分例题说明：  max 1, x2 dx（12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一（16）隐函数求不定积分例题说明：（17）三角有理函数积分的万能变换公式（18）某些无理函数的不定积分②欧拉变换（19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充）☆【例谈不定积分的计算方法】☆1、不定积分的定义及一般积分方法2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（1）定义：若函数 f(x)在区间 I 上连续，则 f(x)在区间 I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c0,(c0 为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c0 属于函数族 F(x)+c（2）一般积分方法值得注意的问题：第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。不能用普通方法积出的积分：2、特殊类型不定积分求解方法汇总（1）多次分部积分的规律（3）简单无理函数的积分被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。【第六部分】定积分1.书本知识...