3.4不动点理论

1 3.4 不动点理论 3.4.1 不动点定理 定义 3.4.1 设(,)X  是度量空间，:AXX是一个映射。若存在数, 01，使对任意,x yX，有 (,)( ,)Ax Ayx y (3.4.1) 则称 A 是X 上的一个压缩映射 (Contraction Mapping). 若 X 是线性空间，则称 A 是X 上的一个压缩算子(Contraction Operator). 注 为简明起见，这里用 Ax 记( )A x . 由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离的(01)倍。 定理 3.4.1 压缩映射是连续映射。 证 证明压缩映射A 是连续映射，即证明：对任意收敛点列0 ()nxxn ，必有0()nAxAxn  . 因为点列0 ()nxxn  ，即：0(,)0 ()nxxn  , 又因为 A 是压缩映射，即存在数, 01，使得 00(,)(,)nnAxAxxx, 所以 0(,)0()nAxAxn  , 即： 0()nAxAxn  . 证毕！ 2 定义3.4.2 设X 是一集，:AXX是一个映射。若*xX，使得 **Axx, (3.4.2) 则称*x 为映射A 的一个不动点(Fix ed Point). 设:AXX是一个映射，即：:()AxAxxX，定义： 2 :AxAAx， 3 :,,:kkAxA A A xAxAA x个， 1 , 2 , 3 ,k  . 定理 3.4.2 (Banach fix ed point theorem, Banach, 1922) 设(,)X  是完备的度量空间，:AXX是一个压缩映射，则 X 中必有 A 的唯一不动点。 证 先证明映射A 在X 中存在不动点。 在 X 中任取一点0x ，从0x 开始，令 21021010,,,,,1, 2,nnnxAxxAxA xxAxA xn ， 这样得到 X 中的一个列点{}nx. 往证{}nx是基本点列。 因为 A 是压缩映射，所以存在数, 01，使得 111(,)(,)(,)(1)nnnnnnxxAxAxxxn. (3.4.3) 反复应用上式，由归纳法得 110(,)(,)(1)nnnxxxxn . (3.4.4) 于是，对任意正整数 p ，由(3.4.3)及三点不等式得 1121(,)(,)(,)(,)npnnpnpnpnpnnxxxxxxxx 1210()(,)npnpnxx 1010(,)(,)0()11nnpnxxxxn , (3.4.5) 即{}nx是基本点列。 因为 X 是完备空间，所以{}nx在 X 中存在唯一的极限*x ，使得 3 *()nxxn  . 又因为压缩映射A 是连续的，所以有 *()nAxAxn  . 而 *1()nn...