充分条件和必要条件VIP免费

1．1.3充分条件和必要条件1.1.3课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．课前自主学案温故夯基温故夯基1．命题的结构：若p则q，其中“p”是____，“q”是________．2．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性．(2)两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性____________．条件结论相同没有关系1．充分条件和必要条件“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，记作_______，并且说p是q的_______条件，q是p的________条件．当命题“若p则q”为假命题时，记作pq．在这种情况下，p是q的_______条件，q是p的_______条件．知新益能知新益能p⇒q充分必要不充分不必要2．充要条件(1)如果既有______，又有_____，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称______条件．(2)概括地说：如果_______，那么p与q互为充要条件．p⇒qq⇒p充要p⇔q若p是q的充分条件，那么p唯一吗？提示：不唯一．如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等也都是x>0的充分条件．思考感悟课堂互动讲练充分、必要条件及充要条件的判断考点突破考点突破判断p是q的什么条件，主要是判断若p成立时，能否推出q成立；反过来，若q成立时，能否推出p成立．若p⇒q为真，则p是q的充分条件；若q⇒p为真，则p是q的必要条件．例例11指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)．(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：函数f(x)＝2x＋1，q：函数f(x)是增函数；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形；(4)p：α>β，q：sinα>sinβ.【思路点拨】只需按充分、必要条件的定义，分析若p成立，q是否成立，再反过来，q成立时，p是否成立．【解】(1) a＋b＝0a2＋b2＝0，反过来，若a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为函数f(x)＝2x＋1⇒f(x)是增函数，但f(x)是增函数f(x)＝2x＋1，所以p是q的充分不必要条件．(3) p⇒q且q⇒p，∴p是q的充要条件．(4)取α＝150°，β＝30°，α>β，但sin150°＝sin30°，即pq；反之，sin60°>sin150°，但60°>150°不成立，则qp，所以p是q的既不充分也不必要条件．【名师点评】一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明一个命题成立时，就可以去证明它的等价命题成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件和结论是不等关系(否定式)的命题一般应用等价法．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，那么，若A⊆B，则p是q的充分条件，若B⊆A，则p是q的必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．自我挑战1判断下列各题中p是q的什么条件．(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1.解：(1)当|a|≥2时，如a＝3时，方程可化为x2＋3x＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从而可以推出|a|≥2.综上可知，由q能推出p，而由p不能推出q，所以p是q的必要不充分条件．(2)由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是矩形”；而由“四边形是矩形”可以推出“四边形的对角线相等”，所以p是q的必要不充分条件．(3)当x＝1或x＝2时，x－1＝x－1显然成立；而解方程x－1＝x－1，可得x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．充要条件的证明(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两个方面进行．此时要特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么．(2)在具体解题时需注意若推出(⇒)关系成立，需严格证明．若推出(⇒)关系不成立，可举反例说明．例例22证明：关于x的一元二次不等式x2＋px＋q≤0的解集只有一个元素的充要条件是p2＝4q.【思路点拨】证明充要条件问题，必须分清条件与结论．由“条件”⇒“结论”，是证明命题的充分性；由“结论”⇒“条件...