教案微分中值定理

[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案时---------月---------日课间星期-----------------题§3.1微分中值定理教学目的理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教学重点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。教学难点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。课型基础课教法选择讲 授教学过程一、罗尔定理1. 罗尔定理几何意义：对于在[a,b]上每一点都有不垂直于 x 轴的切线，且两端点的连线与 x 轴平行的不间断的曲线备课组教法运用及板书要点f(x) 来说，至少存在一点 C，使得其切线平行于 x 轴。 C A B21yy  f (x)oabx从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理设函数 f(x) 在点 x0的某邻域 U(x0) 内有定义 并且在 x0处 可 导  如 果 对 任 意 xU(x0)  有 f (x)  f (x0) ( 或 f (x)  f (x0) ) 那 么f '(x0) 0证明：不妨设xU(x0)时， f (x)  f (x0)（若 f(x) f(x0)，可以类似地1 / 7西安交通工程学院《高等数学》课程建设组[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案此表 2 学时填写一份，“教学过程”不足时可续页证明）.于是对于 x0 xU(x0) ,有 f (x0 x)  f (x0), 从而当x  0时,f (x0 x) f (x0); 而当x  0 时,f (x0  x)  f (x0)  0;xx根据函数0f(x) 在 x0处可导及极限的保号性的得x0f '(x0)  f '(x0)  lim f (x0 x) f (x0) 0x''f (x0)  f (x0)  lim f (x0 x) f (x0) 0 ，所以 f '(x0) 0, 证毕.x0x定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理如果函数 f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b) 内可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即 f(a) f(b) 那么在(a,b)内至少在一点(a b)  使得函数 f(x)在该点的导数等于零，即 f '( )  0 证明：由于 f (x) 在[a,b]上连续，因此必有最大值 M 和最小值 m ，于是有两种可能的情形：（1）M m，此时 f (x) 在[a,b]上必然取相同的数值 M，即 f (x)  M.由此得 f (x) 0.因此，任取 (a,b) ，有 f () 0.（2）M m，由于 f (a)  f...