三角形四心的向量特征及应用VIP专享

本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2 0 1 0 年第1 2 期 三角形“四心”的向量特征及应用 浙江省上虞市春晖中学 林国夫（邮编：312353） 翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题，笔者发现有关三角形的“四心”（即重心，垂心，内心和外心）的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GCGBGA具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究，得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考. 1 三角形重心的向量特征 定理 1 已知为GABCΔ的重心,记CGABGCAGBΔΔΔ,,的面积为 ,,,CGABGCAGBSSSΔΔΔ则0=++GCGBGA,且.CGABGCAGBSSSΔΔΔ== 证明 如图 1,为的重心,为边上的中线,则GABCΔADBCADAG32= )(31)(2132ACABACAB+=+×=.即)(31GAGCGAGBGA−+−=−. 故0=++GCGBGA. 由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔADAGSSSSABDAGBABCAGB. 即ABCAGBSSΔΔ= 31,同理ABCBGCSSΔΔ= 31,ABCCGASSΔΔ= 31, 故 .CGABGCAGBSSSΔΔΔ==说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)为GABCΔ的重心的充要条件为 0=++GCGBGA.(2) AG 与ACAB +共线.并可以得到下面一个有用的推论. 推论 1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且CBA,,PABCPBPA21λλ+PC3λ+0=, 其 中0321≠⋅⋅λλλ. 记CPABPCAPBΔΔΔ,,:||:|2的面 积 为则,,,CPABPCAPBSSSΔΔΔCPABPC SSΔΔ:|APBSΔ|:|13λλλ=. 证明 如图 2，记PCPCPBPBPAPA3'2'1',,λλλ===,根据定理 1 可知, 点 P 是的重心,且'''CBAΔ1:1:1::''''''=ΔΔΔPACPCBPBASSS. 由于)''sin''21(:)sin21(:''PBAPBPAAPBPBPASSPBAAPB∠⋅⋅∠⋅⋅=ΔΔ ||||1'21'λλ⋅=⋅=PBPBPAPA,即||||21'' λλ⋅=ΔΔPBAAPBSS, 同理||||32'' λλ⋅=ΔΔPCBBPCSS,||||13'' λλ⋅=ΔΔPACCPASS,故||||:||||::32''21''λλλλ⋅⋅=ΔΔΔΔΔPCBPBACPABPCAPBSSSSS ||||:13'' λλ⋅ΔPACS||:||:||213λλλ=. 说明 该推论多次出现在高中数学联赛试题中,如2006 年高中数学联赛吉林省预赛第11 题和陕西省预赛第5 题,2008 年高中数学联赛江苏省预赛第8 题. 例1 （2006 年全国高中数学联赛陕西省预赛）设点P 为ABCΔ内一点，且ACABAP5152+=. 则ABPΔ的面积与ABCΔ的面积之比等于____________. 解 由于ACABAP5152+=,则)(51)(52PAPCPAPBPA−+−=−,即 022=++PCPBPA,根据推论1 得, 2:2:1::=ΔΔΔCPABPCAPBSSS,故. 5:...