与函数单调性有关的四种异题同构类型的解法整合

与函数单调性有关的四种异题同构类型的解法整合 刘亚平、胡耀宇 一．问题的提出 导数的引入，使研究函数单调性和最值的方法更加丰富，近几年的高考题中经常出现以下四种类型的问题： 类型I： 已知函数 xfy 在Ax 时单调，求其中参数m 的取值范围； 类型II： 已知函数 xfy 在Ax 时无极值，求其中参数m 的取值范围； 类型III： 已知函数 xfy 在Ax 时不单调，求其中参数m 的取值范围； 类型IV ： 已知函数 xfy 在Ax 时有极值，求其中参数m 的取值范围。 因为各种类型叙述形式多变，解题方法灵活，能充分考查学生的数学思想、计算功底和优化思维能力，从而备受命题者的青睐。另一方面，学生面对问题时的状态，往往在听讲时思路清晰，自己做时却出现逻辑不清，或者任感觉做题，方法选择不优，就会做题繁琐，计算困难。 那么这四种类型有哪些常见的解题方法？各种解题方法如何进行优化整合？它们之间的逻辑联系如何？ 本文从一道经典考题入手来分析提出的问题。 二．经典恒久远的一道试题 （ 2009 年高 考浙 江省 理科 22 题）已 知 函数 251223xxkkxxf， 122kxxkxg，其中Rk 。设函数   xgxfxp。若  xp在区间3,0上不单调，求 k 的取值范围。 解法一 直接法：分离参数，求值域    15123xkxkxxgxfxp， 51232kxkxxp 因为  xp在区间3,0上不单调，所以 0 xp在3,0上有实数解，且无重根， 由 0 xp，得 523122xxxk， 3101291243125232xxxxxk， 令,12xt有7,1t，记  ttth9，则  th在区间3,1上单调递减，在区间7,3上单调递增，所以有  10,6th，故 10,612912xx，得到2,5 k，而当2k时， 0 xp在3,0上有两个相等的实根1x，故舍去，所以2,5 k。 解法二 直接法：根的分布，求参数范围 因 xp在区间3,0上不单调， 0 xp在3,0上有实数解，且无重根，当 0 xp在3,0内恰有一解，则   030pp，得7265k；当 0 xp在3,0内恰有两个不等解，则，  ...