专题四三角形中的中线、角平分线、高线处理

专题5 解三角形中的中线、角平分线、高线处理 解三角形类问题在考查时除了结合正弦定理，余弦定理，勾股定理设置题目外，往往还和三角形的一些常见元素：中线，角平分线，高线结合在一起考查。在处理相关题目时，我们除了要充分运用正余弦定理处理边角关系，还要结合角平分线，中线，高线自身的一些性质进行解题。 小专题 中线 【知识准备】 如图，在△ABC中，角CBA,,的对边分别为, ,a b c ，D 为BC 的中点 （一）余弦定理法 在ABD中，ADBADaADaccos)21(222① 在ACD中，)cos()21(222ADBADaADab② ①+②得)(22222ADBDcb （二）向量法 由于)(21BABCBD 所以)cos2(41222AbccbAD （三）倍长中线法 借助平行四边形性质：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和。 易得2222)2()(2ADBCABAC （四）中线公式 在△ABC中，BC边上的中线和三边有如下关系（可以用上面三种方法推导）： 2)(2222acbAD 一、余弦定理/ 倍长中线法 【题目】在△ABC 中，角, ,A B C 的对边分别为, ,a b c （1）若0cossinAbBa，求角A. （2）若 D 为BC 的中点，4 ADBC，求ACAB 的取值范围. A C D B 【解析】（1）由正弦定理0cossinsinsinABBA 所以1tanA，又因为 ),0( A，43 A （2）解法一利用余弦定理 因为D 为BC 的中点，所以4 ADBC 由余弦定理，在ABD中，ADBABcos42242222① 在ACD中，)cos(42242222ADBAC② ①+②得4022 ACAB 所以54)(222ACABACAB 又因为三角形两边之和大于第三边，所以]54,4( ACAB 解法二利用倍长中线 由知识准备知80)(2)2(2222ACABBCAD 所以4022 ACAB 所以54)(222ACABACAB 又因为三角形两边之和大于第三边，所以]54,4( ACAB 二、向量法 【题目】已知 ABC的面积为33，且内角CBA,,依次成等差数列. （1）若ACsin3sin，求边 AC 的长； （2）设 D 为AC 的中点，求线段BD 长的最小值. 【解析】（1）依题内角CBA,,依次成等差数列，则3B 所以33sin21BacSABC，即12ac 又因为ACsin3sin，结合正弦定理得ac3，所以6,2ca 在ABC中，由余弦定理得28cos2222Baccab 解得72b，故72AC （2）因为D 为AC 的中点，所以)(21BABCBD 即943)(41)cos2(4122222...