估计有关的习题及详解

§ 估 计 基本题型Ⅰ 矩估计法 【例 7.1】总体 X 的概率密度函数为1,01( ; )00,xxf x（）其他，求未知参数 的 矩估计. 【分析】先由题设所给含有未知参数 的随机变量概率密度求出数学期望，解出未知参数 与数学期望的关系，再由样本一阶原点矩替换总体期望，即得参数 的矩估计. 【解】为求未知参数 用总体原点矩表示的式子，先求出 EX 110( ; )1EXxf xdxxxdx 因而 [1]EXEX  在上式中用样本一阶原点矩替换总体一阶原点矩，即得未知参数 的估计 ˆ(1)XX . 【例 7.2 】设总体 X 服从均匀分布[ , ]U a b ，12(,,)nXXX为来自此总体的样本，求 ,a b的矩估计. 【分析】由于总体的分布中含有两个未知参数 ,a b ，故需要求出总体的两个矩，为简单起见，一般先求其一阶矩（即总体的期望）和二阶矩（也可以取总体的方差），然后按矩估计法相应的样本矩替换它们，得矩法方程，最后求解便可得到 ,a b 的矩估计. 【解】由于总体 X 服从均匀分布[ , ]U a b ，故总体的期望和方差分别为 12();212abbaEXDX 由矩估计法，用 X 替换 EX ，用2S 替换2 ，便得矩法方程组 1222()12abXbaS， 即222 3abXabS  于是解出 ,a b 的矩估计分别为 ˆ3aXS， ˆ3bXS. 【例 7.3】设总体 X 的概率密度函数为| |1( ; ),(0,)2xf xex   ，求 的矩估计. 【分析】由于总体的分布中只含有一个未知参数 ，但总体的一阶矩为常量，需要求总体的二阶矩，从而确定矩方程，最后求解 的矩估计量. 【解】虽然总体X 只含有一个参数，但 | |102xEXxedx 不含 ，不能求解 故需求二阶原点矩 | |2212xEXxedx2220021( )( )22xxxxxedxed 22(3)2. 令2211niiXEXn，则有 的矩估计量为211ˆ2niiXn. 基本题型Ⅱ 极大似然估计法 【例 7.4】设总体X 具有概率密度函数1,01( ; )00,xxf x（）其他， 的极大似然估计量是 . 【分析】设12,,nx xx 为总体X 的观测值，则其极大似然函数为11( )()nnLxx，对数似然函数为1ln ( )ln(1)lnniiLnx...