1全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题1、如图，圆O与圆 D相交于 ,AB两点， BC为圆 D的切线，点C在圆O上，且 AB BC=.（1）证明：点O在圆 D的圆周上.（2）设△ ABC的面积为 S，求圆 D的的半径r的最小值.解 :（1）连,,,OAOBOCAC，因为O为圆心， AB BC=，所以△OBA∽△OBC，从而OBA OBC∠=∠.因为,OD ABDB BC⊥⊥，所以9090DOBOBAOBC DBO∠= °−∠= °−∠=∠，所以 DB DO=，因此点O在圆 D的圆周上.（2）设圆O的半径为a ， BO的延长线交 AC于点 E，易知 BE AC⊥.设2ACy=(0)y a< ≤，OE x= ， AB l= ，则222axy=+，()S yax=+，22222222()2222 ()aSlyaxy aax xaaxa axy=+ +=+++=+=+=.因为22ABCOBAOAB BDO∠= ∠= ∠=∠, AB BC=, DB DO=，所以△ BDO∽△ ABC，所以 BD BOAB AC=，即2raly=，故2alry=.所以2 2223222( )4422a laaS S aSryyyy==⋅= ⋅≥，即22Sr≥，其中等号当 ay= 时成立，这时 AC是圆O的直径.所以圆 D的的半径 r的最小值为22S.2、如图，给定锐角三角形 ABC， BC CA<，AD，BE是它的两条高，过点 C作△ABC的外接圆的切线l，过点 D，E分别作l的垂线，垂足分别为 F，G．试比较线段 DF和 EG的大小，并证明你的结论．解法 1：结论是 DF EG=．下面给出证明．因为FCD EAB∠=∠，所以 Rt△FCD∽ Rt△EAB．于是可得CDDF BEAB=⋅．同理可得CEEG ADAB=⋅．又因为 tanAD BEACBCD CE∠==，所以有 BECD ADCE⋅=⋅，于是可得 DF EG=．解法 2：结论是 DF EG=．下面给出证明 连接 DE，因为90ADB AEB∠=∠= °，所以 A，B，D，E四点共圆，故CED ABC∠=∠．2又 l是⊙O的过点 C 的切线，所以ACGABC∠=∠．所以，CEDACG∠=∠，于是 DE∥FG，故 DF＝EG．3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的△ABC？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC的三边长分别为6=a，4=b，5=c时，BA∠=∠2．… … … … … …5 分如图，当BA∠=∠2时，延长 BA至点 D，使bACAD==．连接 CD，则△ ACD为等腰三角形．因为BAC∠为△ ACD的一个外角，所以2BACD∠= ∠ ．由已知，2BACB∠= ∠ ，所以DB∠=∠．所以△CBD为等腰三角形．又D∠为△ ACD与△CBD的一个公共角，有△ ACD∽△CBD，于是BDCDCDAD =， 即cbaab+=，所以()cbba+=2．而264 (45)= × +，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角...
