十字相乘法——高中常用的解方程方法

十字相乘法 1．2()xpq xpq型 的 因 式 分 解 这 类 式 子 在 许 多 问 题 中 经 常 出 现 ， 其 特 点 是 ： (1) 二 次 项 系 数 是 1； (2) 常 数 项 是 两 个 数 之 积 ； (3) 一次 项 系 数 是 常 数 项 的 两 个因 数 之 和． 22()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因 此，2()()()xpq xpqxp xq 运用这 个 公式 ， 可以把某些二 次 项 系 数 为 1 的 二 次 三项 式 分 解 因 式 例 1． 把下列各式 因 式 分 解 ： (1) 276xx (2) 21 33 6xx 小结： 例 2． 把下列各式 因 式 分 解 ： (1) 252 4xx (2) 221 5xx 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 2 ．一般二次三项式2axbxc 型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a xca xca a xa ca c xc c． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a xa ca c xc ca xca xc 我们发现，二次项系数 a 分解成12a a ，常数项 c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a ca c，如果它正好等于2axbxc的 一 次 项 系 数 b ， 那 么2axbxc就 可 以 分 解 成1122()()a xca xc，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例 3 . (1)221 57xx (2) 2384aa 例 4. (1) 2576xx (2) 261 11 0yy 用 十 字 相 乘 法 对 下 面 的 方 程 进 行 求 解 。 (1) a2－7a+6=0； (2)8x2+6x－35=0； (3)18x2－21x+5=0； (4) 20－9y－20y2=0； (5)2x2+3x+1=0； (6)2y2+y－6=0； (7)6x2－13x+6=0； (8)3a2－7a－6=0； (9)6x2－11x+3=0； (10)4m2+8m+3=0； (11)10x2－21x+2=0； (12)8m2－22m+15=0； (13)4n2+4n－15=0； (14)6a2+a－35=0； (15)5x2－8x－13=0； (16)4x2+15x+9=0； (17)15x2+x－2=0； (18)6y2+19y+10=0； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0； (20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0 参考答案： (1)(a-6)(a-1)， (2)(2x+5)(4x-7) (3)(3x-1)(6x-5)， (4)-(4y-5)(5y+4) (5)(x+1)(2x+1)， (6)(y+2)(2y-3) (7)(2x-3)(3x-2)， (8)(a-3)(3a+2) (9)(2x-3)(3x-1)， (10)(2m+1)(2m+3) (11)(x-2)(10x-1)， (12)(2m-3)(4m-5) (13)(2n+5)(2n-3)， (14)(2a+5)(3a-7) (15)(x+1)(5x-13)， (16)(x+3)(4x+3) (17)(3x-1)(5x=2)， (18)(2y+5)(3y+2) (19)(3a-b)(5b-a)， (20)(x+1)(7x-17)