第四章向量组的线性相关性1.设 v1=(1,1,0)T,v2=(0,1,1)T,v3=(3,4,0)T,求 v1−v2及3v1+2v2−v3.解v1−v2=(1,1,0)T−(0,1,1)T=(1−0,1−1,0−1)T=(1,0,−1)T.3v1+2v2−v3=3(1,1,0)T+2(0,1,1)T−(3,4,0)T=(3×1+2×0−3,3×1+2×1−4,3×0+2×1−0)T=(0,1,2)T.2.设 3(a1−a)+2(a2+a)=5(a3+a),求 a,其中 a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,−1,1)T.解由 3(a1−a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得)523(61321aaaa−+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61TTT−−+==(1,2,3,4)T.3.已知向量组A:a1=(0,1,2,3)T,a2=(3,0,1,2)T,a3=(2,3,0,1)T;B:b1=(2,1,1,2)T,b2=(0,−2,1,1)T,b3=(4,4,1,3)T,证明 B组能由 A组线性表示,但 A组不能由 B组线性表示.证明 由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=312123111012421301402230) ,( BA⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−971820751610402230421301 ~r⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−531400251552000751610421301 ~r⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−000000531400751610421301 ~r知 R(A)=R(A,B)=3,所以 B组能由 A组线性表示.由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=000000110201110110220201312111421402~~rrB知 R(B)=2.因为 R(B)≠R(B,A),所以 A组不能由 B组线性表示.4.已知向量组A:a1=(0,1,1)T,a2=(1,1,0)T;B:b1=(−1,0,1)T,b2=(1,2,1)T,b3=(3,2,−1)T,证明 A组与 B组等价.证明由,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~rrAB知 R(B)=R(B,A)=2.显然在 A中有二阶非零子式,故 R(A)≥2,又R(A)≤R(B,A)=2,所以 R(A)=2,从而 R(A)=R(B)=R(A,B).因此 A组与 B组等价.5.已知 R(a1,a2,a3)=2,R(a2,a3,a4)=3,证明(1)a1能由 a2,a3线性表示;(2)a4不能由 a1,a2,a3线性表示.证明(1)由 R(a2,a3,a4)=3知 a2,a3,a4线性无关,故 a2,a3也线性无关.又由 R(a1,a2,a3)=2知 a1,a2,a3线性相关,故 a1能由 a2,a3线性表示.(2)假如 a4能由 a1,a2,a3线性表示,则因为 a1能由 a2,a3线性表示,故 a4能由 a2,a3线性表示,从而 a2,a3,a4线性相关,矛盾.因此 a4不能由 a1,a2,a3线性表示.6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:(1)(−1,3,1)T,(2,1,0)T,(1,4,1)T;(2)(2,3,0)T,(−1,4,0)T,(0,0,2)T.解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A.因为,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞...
