含绝对值不等式的解法

1 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用ax 与ax 的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x到原点的距离；21xx 是指数轴上1x ，2x两点间的距离.。 2、ax 与ax 型的不等式的解法。 当0a时，不等式x的解集是axaxx或, 不等式ax 的解集是axax; 当0a时，不等式ax 的解集是Rxx  不等式ax 的解集是 ; 3．cbax与cbax型的不等式的解法。 把 bax  看作一个整体时，可化为ax 与ax 型的不等式来求解。 当0c时，不等式cbax的解集是cbaxcbaxx或, 不等式cbax的解集是cbaxcx; 当0c时，不等式cbax的解集是Rxx  不等式cbxa的解集是 ; 例1 解不等式 32 x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2x” 看着一个整体。答案为51xx。(解略) （二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a aaaa a去掉绝对值再解。 例2。解不等式22xxxx。 分析:由绝对值的意义知，aa a≥0，aa  a≤0。 解:原不等式等价于2xx＜0 x(x+2)＜0 -2＜x＜0。 2 （三）、平方法:解( )( )f xg x型不等式。 例3、解不等式123xx。 解:原不等式22(1)(23)xx22(23)(1)0xx  (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 (3x-4)(x-2)<0  423x。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125xx 。 分析:由 01 x，02 x，得1x和2x。2和1把实数集合分成三个区间，即2x，12x，1x，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。 解:当x＜-2 时，得2(1)(2)5xxx ， 解得：23x 当-2≤x≤1 时，得21,(1)(2)5xxx ， 解得：12x 当1x时，得1,(1)(2)5.xxx 解得： 21 x 综上，原不等式的解集为23xx。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法”，...