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（10 分）（2024 河南）（1）问题如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且BC=a,AB=b
填空：当点 A 位于时线段 AC 的长取得最大值，且最大值为（用含 a，b 的式子表示）（2）应用点 A 为线段 B 除外一动点，且 BC=3,AB=1
如图 2 所示，分别以 AB，AC为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD,BE
① 请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由② 直接写出线段 BE 长的最大值
（3）拓展如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（5，0），点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA=2，PM=PB，∠BPM=900
请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标
解：（1）CB 的延长线上，a+b；………………………………………2 分（2）① DC=BE,理由如下 △ABD 和△ACE 都是等边三角形，∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=600,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ……………5 分∴△CAD≌△EAB（SAS）,∴DC=BE ………………………………6 分②BE 长的最大值是 4
…………………………………………………8 分（3）AM 的最大值为 3+，点 P 的坐标为（2-，）……10 分【提示】如图 3，构造△BNP≌△MAP,则 NB=AM,由（1）知，当点 N 在 BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）
易得△APN 是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=，∴AM=NB=AB+AN=3+;过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PE=AE=,又 A（2，0）∴P（2-，）22
（10 分）（2024 河南））如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B=900，BC=2AB=8,点
