三种不常见的正项级数收敛性判别法

精品文档---下载后可任意编辑赖宝锋积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积分判别法，但不在大纲所规定的考核范围之内。尽管如此，这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及其中所体现的思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法。先介绍积分判别法。先建立如下三个简单的引理。引理 1 设为上的一个单调递增函数，则存在当且仅当有界。证明：先证明必要性。假设存在，记。则存在一个，当时，有，于是。又单调递增，因此，。于是，有界。充分性，若有界，则为单调有界函数，极限必存在。得证！引理 2 设为上的一个单调递增函数，则存在当且仅当有界。证明：必要性显然。充分性：，，。再由的有界性就知道了。引理 3 设为上的非负可积函数。则收敛当且仅当有界，当且仅当有界。证明：收敛当且仅当存在。由于非负，因此，是单调递增的。由引理 1，收敛当且仅当有界；由引理 2，收敛当且仅当有界。这样，结论得证！定理 1(积分判别法)假设数列满足：且单调递减。假设存在一个上的非负的单调递减的可积函数，使得。则的收敛性与广义积分是一致的。证明：记部分和为，即另一方面，这样，。这样，若收敛，即有界，即收敛，则收敛，即收敛。若收敛，即有界，则有界，即收敛。 这个判别法的证明方法的几何意义是很清楚的，就是曲边梯形的内接矩形面积小于曲边梯形面积，曲边梯形面积又小于其外接矩形的面积。见图 1： 图 1注 1：积分判别法中，数列单调性可以放宽为某一项以后单调。由于级数是否收敛与前几项无关，因此，即使某一项以后才保持单调递减性，级数仍然收敛。 下面用积分判别法解决两个问题。例 1.判别级数的收敛性。解答：当，，级数自然是不收敛的。精品文档---下载后可任意编辑当，，级数也不收敛。当，广义积分当时收敛，当时发散。于是，时，级数收敛。当时，级数发散。综合起来看，，级数发散。，级数收敛。例 2.判别级数的收敛性。解答：通过讨论函数可知，数列在某一项以后就是单调递减的了。由于广义积分当收敛，当发散。于是，级数当收敛，当发散。定理 2.假设数列满足，且(包括)。则：(1)若，级数收敛。(2)若，级数发散。(3)若，此法失效。证明：若，则对任意，存在，使得当，有，于是，即，于是，。由于，因此级数收敛。 若，与上面方法一样，只需任取一个，则存在一个，当，有。下同。若，则对任意，存在，使得当，有，于是，即，。由于，因此级数发散，因此级数发散。若，我们取，则，但是发散的...