函数、极限和连续 专题练习题VIP免费

第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:3.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加()；若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少()；若f(x1)＜f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加()；若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数：y=c，(c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a＞0、a≠1)4.对数函数：y=logax,(a＞0、a≠1)5.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数1.复合函数：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2极限一、主要内容㈠极限的概念1.数列的极限:称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理:若的极限存在必定有界.2.函数的极限：⑴当时，的极限：⑵当时，的极限：左极限：右极限：⑶函数极限存的充要条件：定理：㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：称在该变化过程中为无穷大量。X再某个变化过程是指：2．无穷小量：称在该变化过程中为无穷小量。3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：4．无穷小量的比较：⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理：若：则：㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：设：（n=1、2、3…）且：则：2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有：且：则：㈣极限的运算规则若：则：①②③推论：①②③㈤两个重要极限1．或2．§1.3连续一、主要内容㈠函数的连续性1.函数在处连续：在的邻域内有定义，1o2o左连续：右连续：2.函数在处连续的必要条件：定理：在处连续在处极限存在3.函数在处连续的充要条件：定理：4.函数在上连续：在上每一点都连续。在端点和连续是指：左端点右连续；右端点左连续。a+0b-x5.函数的间断点：若在处不连续，则为的间断点。间断点有三种情况：1o在处无定义；2o不存在；3o在处有定义，且存在，但。两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：和都存在。可去间断点：存在，但，或在处无定义。2o第二类间断点：特点：和至少有一个为∞，或振荡不存在。无穷间断点：和至少有一个为∞㈡函数在处连续的性质1.连续函数的四则运算：设，1o2o3o2.复合函数的连续性：则：3.反函数的连续性：㈢函数在上连续的性质1.最大值与最小值定理：在上连续在上一定存在最大值与最小值。yy+MMf(x)f(x)0abxm-M0abx2.有界定理：在上连续在上一定有界。3.介值定理：在上连续在内至少存在一点，使得：，其中：yyMf(x)Cf(x)0aξbxm0aξ1ξ2bx推论：在上连续，且与异号在内至少存在一点，使得：。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学§2.1导数与微分一、主要内容㈠导数的概念1．导数：在的某个邻域内有定义，2．左导数：右导数：定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：（或：）3.函数可导的必要条件：定理：在处可导在处连续4.函数可导的充要条件：定理：存在，且存在。5.导函数：在内处处可导。y6.导数的几何性质：是曲线上点处切线的斜率。ox0x㈡求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1o2o3o3.复合函数的导数：，或☆注意与的区别：表示复合函数对自变量求导；表示复合函数对中间变量求导。4.高阶导数：函数的n阶导数等于...