精品文档---下载后可任意编辑两类非局部问题解的存在性与多重性中期报告本篇中期报告旨在介绍非局部问题中解的存在性与多重性的讨论进展，并结合相关领域的讨论，给出对未来讨论的展望。非局部问题是指包涵某种（也可以多种）非局部算子的微分方程或变分问题，例如：分数阶微分方程和分数阶变分问题。这类问题的非局部算子可以描述一些非局部现象，如蓄电池充放电、物理场中扩散、金融衍生品定价等。这些问题的解的存在性与多重性是非常重要的问题，它们揭示了非局部算子对扩散行为影响的本质。在目前的讨论中，主要考虑了两类非局部问题：一类是分数阶微分方程的正常模式问题，即给定边界条件求出解；另一类是分数阶变分问题，即求解一个能量泛函的最小值或最大值。对于正常模式问题，已经有一系列的定理给出了解的存在性和多重性。其中最有代表性的是在一些特定条件下，分数阶微分方程的正常模式问题的解的存在唯一，这个定理被称为 Leray-Schauder 定理。此外，还有一些新的定理已经被得到，并已被推广到更广泛的情况。对于分数阶变分问题，其解的存在性和多重性讨论相对较少，尤其是当权重函数和非局部算子是非线性时，现有的理论对解的存在性和多重性的限制比较严格。需要进一步讨论这个问题，并尝试进展新的方法来解决这个问题。在未来的讨论中，尤其是对于分数阶变分问题，需要更多地关注解的多重性。因为对于一些实际问题，可能存在多个解，而我们需要选择一个最优的解来描述问题。此外，需要探究更复杂的非局部问题，例如含有间断或分支的非局部问题，并讨论它们的解的存在性、唯一性和多重性。
