二阶线性微分方程及其解法

精品文档---下载后可任意编辑n 阶微分方程的一般形式为：，一般情况下，求阶微分方程的解是困难的. 作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.一、 二阶线性微分方程解的结构假如二阶微分方程y ''=F(x, y , y')的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为y ''+p(x) y'+q(x) y=f (x). （7）假如f ( x)≡0 ，则方程（7）成为y ''+p(x) y'+q(x) y=0. （7）方程（7）称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（7）称为二阶非齐次线性微分方程.定理 7.1 齐次线性微分方程解的叠加性定理. 设和是二阶齐次线性微分方程（7）的两个解，则y=c1 y1+c2 y2也是微分方程（7）的解，其中c1,c2为任意常数.证： 将y=c1 y1+c2 y2代入方程（7）的左端，可得(c1 y1+c2 y2)''+p(x)(c1 y1+c2 y2)'+q(x)(c1 y1+c2 y2)=(c1 y1''+c2 y2'')+ p( x)( c1 y1' +c2 y2' )+q(x )( c1 y1+c2 y2)=c1( y1''+ p(x )y1'+q(x) y1)+c2( y2''+ p(x )y2' +q(x )y2)=0，所以，y=c1 y1+c2 y2也是微分方程（7）的解.□定理 7.1 表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加. 假如我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解和，很容易得到含有任意常数c1,c2的解，y=c1 y1+c2 y2. 假如解和有一定关系，那么，解y=c1 y1+c2 y2中的任意常数c1,c2可以合并成一个任意常数. 因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解. 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解和要满足哪些条件才能使解y=c1 y1+c2 y2成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念.定义 7.1 设函数和是定义在某个区间 I 上的两个函数，假如存在两个不全为零的常数c1,c2，使c1 y1+c2 y2=0在区间上恒成立，则称函数和在区间上是线性相关的，否则是线性无关的.确定两个函数和在区间上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比是否为常数. 假如等于常数，则与线性相关；假如等于函数，则与线性无关. 例如,则与线性相关.,则与线性无关.定理 7.2 二阶齐次线性微分方程的通解结构定理. 假如和是二阶齐次线性微分方程（7）的两个线性无关的特解，则y=c1 y1+c2 y2是微分方程（7）的通解，其中c1,c2为任意常数. 例如, ,,都是二阶齐次线性微分方程的解,c1,c2是任意常数,则下列哪些选项表示微分方程的通解:A. B. C. D.E. F. G. 由二阶齐次线性微分方...