人教A高二数学选修椭圆例题汇总

精品文档---下载后可任意编辑例 1 椭圆的一个顶点为A (2，0)，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当A (2，0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：x24 + y21 =1；（2）当A (2，0)为短轴端点时，b=2，a=4 ，椭圆的标准方程为：x24 + y216 =1；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例 2 已知椭圆x2k+8 + y29 =1的离心率e=12 ，求的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在轴上时，a2=k+8 ，b2=9，得c2=k−1．由e=12 ，得k=4 ．当椭圆的焦点在轴上时，a2=9，b2=k+8 ，得c2=1−k ．由e=12 ，得1−k9 =14 ，即k=−54 ．∴满足条件的k=4 或k=−54 ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k+8与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．例3 已知方程x2k−5 + y23−k =−1表示椭圆，求的取值范围．解：由{k−5<0,¿{3−k<0,¿¿¿¿得3b>0 这个条件，当a=b 时，并不表示椭圆．例4 已知x2sinα−y2cos α=1(0≤α≤π )表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．解：方程可化为x21sinα+y21cosα=1．因为焦点在轴上，所以−1cos α >1sinα >0．因此sin α >0 且tan α<−1 从而α ∈( π2 , 34 π)．说明：(1)由椭圆的标准方程知1sin α >0，−1cos α >0，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在轴上，知a2=−1cosα ，b2=1sin α ． (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0≤α<π例 5 已知动圆过定点A (−3，0)，且在定圆B：(x−3)2+ y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点A (−3，0)和定圆圆心B (3，0)距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为 4，半短轴长为b=√42−32=√7 的椭圆的方程：x216 + y27 =1．说明：本...