高中数学：最小二乘法与线性回归方程1、怎样的拟合直线最好？——与所有点都近，即与所有点的距离之和最小。最小二乘法可以帮助我们在进行线性拟合时，如何选择“最好”的直线。要注意的是，利用实验数据进行拟合时，所用数据的多少直接影响拟合的结果，从理论上说，数据越多，效果越好，即所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系。一般地，我们可以先作出样本点的散点图，确认线性相关性，然后再根据回归直线系数的计算公式进行计算。2、刻画样本点氏加与直线 y 二 a+bx 之间的“距离”—厂仗十如 j]2思考：①这个“距离”与点到直线的距离有什么关系？很显然，这个式值越小，则样本点与直线间的距离越小。② 为什么不直接利用点到直线的距离来刻画样本点与直3、最小二乘法工抵矢-动如果有 n 个点：（xi，yi），（X2，y2），（X3,y3）,,（xn,yn）,我们用下面的表达式来刻画这些点与直线 y 二 a+bx 的接近程度：[yi-（a+b 龙+[y 汀（a+昵）『+……+[yn-釘氐。使得上式达到最小值的直线 y 二 a+bx 就是我们所要求解的直线，这种方法称为最小二乘法。4、线性回归方程F=2 十 b 蛊,其中打…邑 —劲伽一前十（也一刃⑦一 R 十… • 十华垃一 X ） 宛—妙 fej-+一十十一兀尸i=La=y-b 艺这个直线方程"卅血称为线性回归方程，a，b 是线性回归方程的系数（回归系数）。例 1、推导 2 个样本点的线性回归方程设有两个点 A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。巧珀斗知池斗……一门昭2-解：由最小二乘法，设』二卫斗加，则样本点到该直线的〃距离之和〃为数，再用配方法，可知:此时直线方程为：y 二耳+应二卫二 ZL•兀+北）一 A 二.兰二X）-x；2xL-x■：2设 AB 中点为 M 亿仏打则上述线性回归方程为可以看出，由两个样本点推导的线性回归方程即为过这两点的直线方程。这和我们的认识是一致的：对两个样本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。用最小二乘法对有两个样本点的线性回归直线方程进行了直接推导，主要是分别对关于 a 和 b 的二次函数进行研究，由配方法求其最值及所需条件。实际上，由线性回归系数计算公式：2,2b)]2=2[ad=[比_(a+隔护 4[畑—(a+bK-2J=2aJ-2b+x2.)a++y;.'一 b 弋好+蒸：)一 2yna+bx/；--2y+氐 J.yi+y.2®十艾2L从而可知：当’时，b 有最小值。将h代入“距离和”计算式中，视其为关于 b 的二次函一（两― 1 ） 01 亍） + （...
