第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算__，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.2．设是连续函数，且满足,则____________.3．曲面平行平面的切平面方程是__________.4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____.二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2）.五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知满足,且,求函数项级数之和.八、（10分）求时,与等价的无穷大量.第二届全国大学生数学竞赛预赛试题一、（25分，每小题5分）（1）设其中求（2）求。（3）设，求。（4）设函数有二阶连续导数，，求。（5）求直线与直线的距离。二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛；（2）当且时，级数发散。五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线证明（2）求函数；（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一．计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求；（2）.求；（3）已知，求。二．（10分）求方程的通解。三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。四．（17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五．（16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（）取上侧，是S在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示S的正法向的方向余弦。计算：（1）；（2）六．（12分）设f(x)是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义证明：绝对收敛。七．（15分）是否存在区间上的连续可微函数f(x)，满足，？请说明理由。第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一.每题6分共30分1.求极限；2.求极限；3.求通过直线的两个相互垂直的平面，是其中一个平面过点（）；4.已知函数，且，确定常数和，使函数满足方程；5.设函数连续可微，，且在右半平面上与路径无关，求；二.（10分）计算；三.（10分）求方程的近似解，精确到；四.（12分）设函数二阶可导，且，求，其中是曲线上点处切线在轴上的截距；五.（12分）求最小实数，使得对满足的连续的函数，都有；六.（12分）设为连续函数，，区域是由抛物面和球面所围起来的上半部分，定义三重积分，求；七.（14分）设与为正项级数那么（1）若，则收敛；（1）若，则若发散，收敛。第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、解答下列各题（每小题6分共24分）1.求极限.2.证明广义积分不是绝对收敛的3.设函数由确定，求的极值。4.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。二、（12分）计算定积分三、（12分）设在处存在二阶导数，且。证明：级数收敛。四、（12分）设，证明五、（14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。六、（14分）设，其中为常数，曲线C为椭圆，取正向。求极限七（14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。第六届全国大学生数学竞赛预赛试题一填空题(共有5小题，每题6分，共30分)1.已知和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_2.设有曲面和平面。则与平行的的切平面方程是_3.设函数由方程所确定。求_____4.设。则_5.已知。则__二（12分）设为正整数，计算。三（14分）设函数在上有二阶导数，且有正常数使得...
