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探究圆锥曲线中离心率的问题

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精品文档---下载后可任意编辑离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现,下面给同学们介绍常用的四种解法。一、直接求出 a、c,求解 e已知标准方程或 a、c 易求时,可利用离心率公式e=ca 来求解。例 1. 过双曲线 C:x2− y2b2 =1(b>0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线,若与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是( )A. √10B. C. √103D. √52分析:这里的a=1c, =√b2+1,故关键是求出,即可利用定义求解。解:易知 A(-1,0),则直线的方程为y=x+1。直线与两条渐近线y=−bx 和y=bx的交点分别为 B(− 1b+1 , bb+1 )、C(1b−1 ,bb−1 ),又|AB|=|BC|,可解得b2=9,则c=√10 故有e=ca=√10,从而选 A。二、变用公式,整体求出 e例 2. 已知双曲线x2a2 − y2b2 =1(a>0 ,b>0)的一条渐近线方程为y= 43 x,则双曲线的离心率为( )A. 53B. 43C. 54D. 32分析:本题已知ba= 43 ,不能直接求出 a、c,可用整体代入套用公式。解:由e=ca=√a2+b2a=√a2+b2a2=√1+ b2a2=√1+k2(其中 k 为渐近线的斜率)。这里ba=43 ,则e=ca=√1+( 43 )2=53 ,从而选 A。三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义(或称第二定义)知离心率 e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比,特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例 3. 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为( )A. B. √22C. 12D. √24解:由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径,设焦点为 F,则MF⊥ x 轴,知|MF|是通径的一半,则有|MF|=√22 。由圆锥曲线统一定义,得离心率e=|MF|d=√22 ,从而选 B。四. 构造 a、c 的齐次式,解出 e根据题设条件,借助 a、b、c 之间的关系,构造出 a、c 的齐次式,进而得到关于 e 的方程,通过解方程得出离心率 e 的值,这也是常用的一种方法。例 4. 已知、是双曲线x2a2 − y2b2 =1(a>0 ,b>0)的两焦点,以线段 F1F2为边作正ΔMF 1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A. 4+2√3 B. √3−1C. √3+12D. √3+1解:如图,设|OF1|=c, MF1的中点为 P,则点 P 的横坐标为−c2 ,由|PF1|=12|F1F2|=c,由焦半径公式|PF1|=−ex p−a,即c=− ca ×(−c2 )−a,得c2−2a2−2ac=0,有e2−2e−2=0,解得e=1+√3,e=1−√3(舍去),故选 D。练一...

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