探究圆锥曲线中离心率的问题

精品文档---下载后可任意编辑离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。一、直接求出 a、c，求解 e已知标准方程或 a、c 易求时，可利用离心率公式e=ca 来求解。例 1. 过双曲线 C：x2− y2b2 =1(b>0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线，若与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线 M 的离心率是（ ）A. √10B. C. √103D. √52分析：这里的a=1c， =√b2+1，故关键是求出，即可利用定义求解。解：易知 A（-1，0），则直线的方程为y=x+1。直线与两条渐近线y=−bx 和y=bx的交点分别为 B(− 1b+1 , bb+1 )、C(1b−1 ,bb−1 )，又|AB|=|BC|，可解得b2=9，则c=√10 故有e=ca=√10，从而选 A。二、变用公式，整体求出 e例 2. 已知双曲线x2a2 − y2b2 =1(a>0 ,b>0)的一条渐近线方程为y= 43 x，则双曲线的离心率为（ ）A. 53B. 43C. 54D. 32分析：本题已知ba= 43 ，不能直接求出 a、c，可用整体代入套用公式。解：由e=ca=√a2+b2a=√a2+b2a2=√1+ b2a2=√1+k2（其中 k 为渐近线的斜率）。这里ba=43 ，则e=ca=√1+( 43 )2=53 ，从而选 A。三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率 e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. √22C. 12D. √24解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为 F，则MF⊥ x 轴，知|MF|是通径的一半，则有|MF|=√22 。由圆锥曲线统一定义，得离心率e=|MF|d=√22 ，从而选 B。四. 构造 a、c 的齐次式，解出 e根据题设条件，借助 a、b、c 之间的关系，构造出 a、c 的齐次式，进而得到关于 e 的方程，通过解方程得出离心率 e 的值，这也是常用的一种方法。例 4. 已知、是双曲线x2a2 − y2b2 =1(a>0 ,b>0)的两焦点，以线段 F1F2为边作正ΔMF 1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 4+2√3 B. √3−1C. √3+12D. √3+1解：如图，设|OF1|=c, MF1的中点为 P，则点 P 的横坐标为−c2 ，由|PF1|=12|F1F2|=c，由焦半径公式|PF1|=−ex p−a，即c=− ca ×(−c2 )−a，得c2−2a2−2ac=0，有e2−2e−2=0，解得e=1+√3,e=1−√3（舍去），故选 D。练一...