数分定理上册

精品文档---下载后可任意编辑1.可列个可列集之并也是可列集。2.有理数集 Q 是可列集。3.三角不等式∣∣a - b∣ ∣ ∣∣≤ a+b∣∣≤ a + b∣ ∣ ∣ ∣。4.平均值不等式≥≥5.确界存在定理——实数系连续性定理：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。6.非空有界数集的上（下）确界是惟一的。7.数列极限的性质（1）极限的唯一性：收敛数列的极限必惟一。（2）数列的有界性：收敛数列必有界。（3）数列的保序性：设数列均收敛，若且，则存在正整数 N，当 n>N 时，成立。推论：1）.若>0,则存在正整数 N，当 n>N 时，； 2）.若<0,则存在正整数 N，当 n>N 时，.（4）极限的夹逼性：若三个数列{}，{}，{}从某项开始成立≤≤，n>,且=则。8.数列极限的四则运算（详见 P42）。9.设，则{}是无穷大量的充分必要条件是{}是无穷小量。10. 设{}是无穷大量，若当 n>时,成立，则是无穷大量。11. 设{}是无穷大量，，则与{}都是无穷大量。12. （Stolz 定理）设{}是严格单调增加的正无穷大量，且（a 可以为有限量，+∞与-∞），则。13. 单调有界数列必定收敛。14. （闭区间套定理）假如形成一个闭区间套，则存在惟一的实数属于所有的闭区间，且==。15. 实数集 R 是不可列集。16. 若数列{}收敛于 a，则它的任何子列{}也收敛于 a，即= a 17. 推论：若存在数列{}的两个子列{}与{}，分别收敛于不同的极限，则数列{}必定发散。18. （Bolzano-Weierstrass 定理）有界数列必有收敛子列。19. 若{}是一个无界数列，则存在子列{}，使得。20. (Cauchy 收敛原理)数列{}收敛的充分必要条件是：{}是基本数列。21. 实数系的完备性等价于实数系的连续性。22. 函数极限的性质（1）极限的唯一性：设 A 与 B 都是函数 f(x)在的极限，则 A=B。（2）局部保序性：若，，且 A>B,则存在>0，当时，成立。推论 1：若≠0，则存在>0，当时，成立。推论 2：若，，且存在，使得当时，成立，则。推论 3（局部有界性）：若，则存在>0，使得 f（x）在中有界。（3）夹逼性：若存在，使得当时，成立，且，则。23. 函数极限四则运算（详见 P77）24. Heine 定理：的充分必要条件是：对于任意满足条件，且的数列{}，相应的函数值数列成立。naaan...21nnaaa...21naaan1...1121}{},{nnyx,limaxnn,limbynnba nnyx ,limbynn02  byn,limbynn02  bynnn...