数学系毕业论文

摘要在已知解析函数的实部或虚部的条件下求解析函数,并将其表示为f ( z)来求解析函数的方法,再以例题说明具体的应用.关键词 解析函数; 调和函数; 柯西—黎曼方程 Some Methods Of Analytic FunctionsAbstract Known in the analytic functions real part or imaginary part conditions for analytic functions, and will it says thef ( z)forms, the complex functions is a very important question. So, choose appropriate method for analytical function is very important. In this paper, some with the necessary theorem and reasoning for the method of analytic functions, again with examples explain specific application.Keywords Analytic Functions; Harmonic Function; Cauchy-Riemann Equation一 引言从解析函数及调和函数理论我们知道这两类函数有着非常密切的联系:函数f ( z)=u( x , y)+iv( x , y)在单连通区域内解析的充要条件是u(x , y)及为内的共轭调和函数,已知u( x , y)或中的一个,就可以确定函数f ( z),不过可能相差一个实数或纯虚数.这就提出了一个问题:已知调和函数u(x , y)或,如何求其共轭调和函数使f ( z)解析？这不仅是复变函数理论中的重要问题,同时在物理中的流体力学、空气动力学、电学等领域有重要应实际应用中,有时要对一对共轭调和函数进行计算与讨论.本文就对已知调和函数u( x , y)或,如何求其共轭调和函数使f ( z)解析方法进行总结与探求.二 预备知识1. 解析函数的定义及柯西—黎曼方程的推出定义 1 假如函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域在某一点的某一领域内解析,我们也说在某点解析.若在一点可微,而且设（1.1）又设其中（1.1）变为（1.2）精品文档---下载后可任意编辑因为无论按什么方式趋于零时,（1.2）即变点沿平行于实轴的方向趋于点,此时（1.2）成为于是知必定存在,且有. （1.3）同样,设即变点沿平行于虚轴的方向趋于点,此时（1.2）成为故知亦必存在,且有. （1.4）比较（1.3）及（1.4）得出∂u∂x =∂v∂ y , ∂u∂ y =−∂v∂x .这是关于及的偏微分方程组,称为柯西—黎曼方程.由此我们可以得出:结论 1 若f ( z)=u( x , y)+iv( x , y)在区域中解析,则必满足柯西—黎曼方程,即∂u∂x =∂v∂ y , ∂u∂ y =−∂v∂x .结论 2 若f ( ...