时间序列分析讲义协方差平稳向量过程VIP专享

精品文档---下载后可任意编辑在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估量和检验。在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。§10.1 向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论n×1向量之间的动态交互作用。假设一个阶向量自回归模型可以表示为VAR( p)：Y t=c+Φ1Y t−1+Φ2Y t−2+⋯+Φ pY t−p+εt (10.1)其中Φ1,⋯Φ p是n×n阶系数矩阵，是白噪声向量，满足：E(εsεt)=¿ {Ω,s=t¿¿¿¿其中是n×n阶正定矩阵。可以利用重量形式将上述方程组的第一个方程表示为：y1 t=c1+φ11(1) y1 ,t−1+φ12(1 ) y2,t−1+⋯+φ1n(1) yn ,t−1+φ11(2) y1 ,t−2+φ12(2) y2 ,t−2+⋯+φ1 n(2 ) yn,t−2+⋯+φ11( p ) y1,t−p+φ12(p ) y2 ,t−p+⋯+φ1 n( p) yn ,t−p+ε1t (10.2)由此可见，在VAR(p)模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的阶自回归的形式。此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。利用滞后算子形式，可以将VAR(p)模型表示成为：[ I n−Φ1L−Φ2 L2−⋯−Φ p Lp ] yt=c+εt (10.3)其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：Φij( L)=δij−φij(1)L−φij(2)L2−⋯−φij( p)Lp其中δij=1,i=j ，δij=0,i≠ j定义假如一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下述变量与初始时间无关：E( yt )和E( yt yt−j')命题假如一个向量过程满足VAR(p)模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有：(1) 该过程的均值向量可以表示成为：μ=[ I n−Φ1−Φ2−⋯−Φ p]−1 c (10.4)(2) VAR( p)模型可以表示成为中心化形式： (10.5)§10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的 VAR(p)模型表示成为VAR(1)的形式。为此，我们定义更高阶的向量为：V np×1=( εt,0,⋯,0)'Fnp×np=[Φ1Φ2Φ3⋯Φ1Φ pI n00⋯000I n0⋯00⋮⋮⋮⋯⋮⋮000⋯I n0 ]利用上述表示，可以将 VAR(p)模型表示成为紧凑形式为： (10.6)此时向量误差的协方差矩阵为：此处协方差矩阵为：对方程(10.6)进行叠代，可以得到：显然，当向量过程是平稳过程时，任何给定的误差过程的影响一定要随着时间消逝，这时矩阵的所有特征根都要落在单位圆内。类似的命题有：命...