( ( ), ( ))g af a( ( ), ( ))g bf b精品文档---下载后可任意编辑马玉莲（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070）摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、讨论定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.关键词：柯西中值定理; 证明; 应用1.引言微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下：柯西中值定理：设函数 f(x),g(x)满足(1)在上都连续;(2)在内都可导;(3)和不同时为零;(4),则存在，使得. （1）本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用.2.柯西中值定理的证明2.1 构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理罗尔定理设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且则至少存在一点,,使得.证明 构造辅助函数，易见在上满足罗尔定理条件，故存在，使得, （2）因为（若为 0 则同时为 0,不符条件）故可将（2）式改写为(1)式.便得所证. 2.2 利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理讨论显然，当时，式即为拉格朗日公式，所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特别情况. 但若换一个角度，将和看成平面上某条曲线的参数方程，即可以表示为：易知在（或）上连续,在（或）上可导，由拉格朗日中值定理的几何意义，存在曲线上一点过该点的斜率等于曲线两端连线的斜率（如图 1 所示）.设对应于 图 1，则由参数形式函数的求导公式，有.所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的参数表达形式.证明由闭区间上连续函数的性质，以及在上连续，在上可导，且导数恒不为零，且不难证明，在上严格单调，不妨设严格单调增加.下证严格单调，只证在上严格单调递增.取，规定由的连续性知那么,对上式求极限精品文档---下载后可任意编辑,又,得到，由的任意性知故在上严格单调递增.同理可得在上严格单调递减, 故单调性得证.记，，由反函数存在定理和反函数导数存在定理，在上存在的反函数，在上连续，在可导，其导数，并且在上也是严格单调增加的.考虑上的复合函数，由定理条件和以上讨论，即知在上满足拉...
