定比分点的向量公式及应用

1 定比分点的向量公式及应用 浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙 定比分点的向量公式：在平面上任取一点O，设aOP 1，bOP 2，若21PPPP，则baOP111。 特别地，当1时，即P为线段21PP的中点，则有baOP2121。 用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。 一、求定比 的值： 例1：已知A（1,2 ），B（1,3  ）及直线l ：54 xy，直线AB 与l 相交于P点，求P点分AB 的比 。 解：设),(yxP，则由 PBAP，得 )11,131()1,3(1)1,2(11),(yx， 又 P点在直线l 上， ∴51)31(411， ∴31。 例2：如图所示，在ABC中，D 为边 BC 上的点，且DCkBD ，E 为AD 上的一点，且EAlDE ，延长 BE 交AC 于F，求F 分有向线段CA 所成的比 。 解： FACF，∴BABCBF111， 又 EAlDE ，∴BAllBDlBE111， 而BCkkDCkBD1， ∴BAllBCklkBE1)1)(1(， B、E、F 共线，∴设 BFtBE ，而BAtBCtBFt11 ∴BAtBCtBAllBCklk111)1)(1( FEDCBA 2 ∴lltklkt11)1)(1(1，解得kkl)1( 。 二、求直线上点的坐标 例 3：已知点)1,1(A，)5,2(B，点 C 为直线 AB 上一点，且BCAC5，求 C 点的坐标。 分析：先求出 C 点分 AB 的 的值，再利用定比分点的向量公式求出点 C 的坐标。 解： BCAC5，∴5CBAC， 利用定比分点的坐标公式有 )4,23()5,2(65)1,1(616561OBOAOC。 ∴C 点的坐标为)4,23(。 例 4：已知)3,2(A，)5,1(B，且ABAC31，ABAD3，求点 C，D 的坐标。 分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点 C，D 的坐标。 解：设),(11 yxC，),(22 yxD， ABAC31，∴211CBAC， ∴根据定比分点的向量公式有OBOAOC211111， ∴)311,1()5,1(31)3,2(32)5,1(21121)3,2(2111),(11yx 同理由ABAD3得232DBAD， ∴根据定比分点的向量公式有OBOAOC211111， ∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(23123)3,2(2311),(22yx 3 ∴点 C 的坐标为)311,1(，D 点的坐标为)9,7(。 三、证明三点共线 例 5：已...