1 定比分点的向量公式及应用 浙江省永康市古山中学(321307) 吴汝龙 定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设aOP 1,bOP 2,若21PPPP,则baOP111。 特别地,当1时,即P为线段21PP的中点,则有baOP2121。 用定比分点的向量公式,可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。 一、求定比 的值: 例1:已知A(1,2 ),B(1,3 )及直线l :54 xy,直线AB 与l 相交于P点,求P点分AB 的比 。 解:设),(yxP,则由 PBAP,得 )11,131()1,3(1)1,2(11),(yx, 又 P点在直线l 上, ∴51)31(411, ∴31。 例2:如图所示,在ABC中,D 为边 BC 上的点,且DCkBD ,E 为AD 上的一点,且EAlDE ,延长 BE 交AC 于F,求F 分有向线段CA 所成的比 。 解: FACF,∴BABCBF111, 又 EAlDE ,∴BAllBDlBE111, 而BCkkDCkBD1, ∴BAllBCklkBE1)1)(1(, B、E、F 共线,∴设 BFtBE ,而BAtBCtBFt11 ∴BAtBCtBAllBCklk111)1)(1( FEDCBA 2 ∴lltklkt11)1)(1(1,解得kkl)1( 。 二、求直线上点的坐标 例 3:已知点)1,1(A,)5,2(B,点 C 为直线 AB 上一点,且BCAC5,求 C 点的坐标。 分析:先求出 C 点分 AB 的 的值,再利用定比分点的向量公式求出点 C 的坐标。 解: BCAC5,∴5CBAC, 利用定比分点的坐标公式有 )4,23()5,2(65)1,1(616561OBOAOC。 ∴C 点的坐标为)4,23(。 例 4:已知)3,2(A,)5,1(B,且ABAC31,ABAD3,求点 C,D 的坐标。 分析:由题设,运用定比分点的向量公式,可以求得点 C,D 的坐标。 解:设),(11 yxC,),(22 yxD, ABAC31,∴211CBAC, ∴根据定比分点的向量公式有OBOAOC211111, ∴)311,1()5,1(31)3,2(32)5,1(21121)3,2(2111),(11yx 同理由ABAD3得232DBAD, ∴根据定比分点的向量公式有OBOAOC211111, ∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(23123)3,2(2311),(22yx 3 ∴点 C 的坐标为)311,1(,D 点的坐标为)9,7(。 三、证明三点共线 例 5:已...