实变函数习题

第一章习题 2、(ii) 111nnnnnnnABAB 证明：对于11,nnnnxAB 11nnnnxAxB且 001 ,1 ,nnnxAnxB  且对于 0001 ,nnnxAB  1nnnxAB 22、具体构造 0 ,1 与0 ,1 之间的一个完全的一一映射. 解：记0 ,1中的有理数点集为Q ；0 ,1中的无理数点集为 M 0 ,1QM；  0 ,10 ,1QM,作映射 12132,,0,1,..........nnxM xxrr rrrr  所以  0 ,10 ,1与等价 29、求证：nR 中任一集合的导集是闭集. 证明：若 E   ,则 E 为闭集,否则 要证明 E 为闭集 EE  xEx 为 E 的聚点  0 ,,V xxE    1,xV xxE     11,xV xx  110 ,,,2V xV xxE 使得   11110 ,,V xxE  10 , 11,V x 中含有 E 的无穷多个点 1 ,V x 也中含有 E 的无穷多个点 1 ,,EV xEV x  xEEE 从而E 为闭集 30、(i)设,A B 是任意的两个集合,若 AB,则 AB. 证明： xAx 为A 的聚点   0,,V xxA    AB   0,,V xxB     x 为B 的聚点  xB (ii)若 ABA ,求证： B 是闭集. 根据(i)式可知 BAB,则 B 是闭集 32、nR 中任一集合的孤立点是至多可数的 证明：先来证明1R 中的孤立点是至多可数的 记 B 为1R 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,,,mnnmBr rr rQ 则 B 为可数集. 设 A 为1R 中的孤立点全体,则对于任意的 xA,则存在 x 的一个以有理数为端点的邻域 ,xx ,使得  ,xxAx ` 对于每一个 xA,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个 A 中的点,故对于 A中不同的两个点对应的邻域,xx ，,yy也不同. 令,xxDxA  则 A 与 D 等价,而DB,则 D 是至多可数集,从而A 是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集. 33、若 A不可数,则 A也不...