第一章 集 合 1 集合的运算 一、集合的概念 定义 1 设有两个集合A，B。 若 xA∈，必有 xB∈，则称 A 是 B 的子集或 B 包含 A，记为 ABBA⊂⊃或。 若 AB⊂，且存在 xB∈满足 xA∉，则称 A 是 B 的真子集。 若 ABBA⊂⊂且，则称 A 与 B 相等或相同。 定义 2 设 Λ 是一个非空集合，对于每个α ∈Λ ，指定一个集合Aα ，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|Aα α∈Λ 或{ }Aα α∈Λ 。 二、集合的运算 定义 3 设 A，B 是两个集合。 （1） 称集合 {}|ABx xAxB∪=∈∈或为 A 与 B 的并集，即由 A 与 B 的全部元素构成的集合； （2） 称集合 {}|ABx xAxB∩=∈∈且为 A 与 B 的交集，即由 A 与 B 的公共元素构成的集合； 定理 1（1）交换律 ABBA∪=∪， ABBA∩=∩； （2）结合律 ()()ABCABC∩∩=∩∩,()()ABCABC∩∩=∩∩; （3）分配律()()()ABCABAC∩∪=∩∪∩()()()ABCABAC∪∩=∪∩∪。 更一般地有 （4）()()ABABαααα∈Λ∈Λ∪ ∩= ∩∪； （5）()()ABABαααα∈Λ∈Λ∩ ∪= ∪∩； （6）设{ }nA和{ }nB为两集列，有 ()111nnnnnnnABAB∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪= ∪∪ ∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 。 定义 4 设 A，B 是两个集合，称集合{}\|A Bx xA x B=∈∉且是 A 和 B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。如果 BA⊂，则称\A B 为 B 相对于 A 的补集或余集。 定理 2 （1）( ),,,,ccccccAAX AAAA XX∪=∩=∅==∅∅=； （2）\AB =cAB∩； （3）若AB⊂，则ccAB⊃； （4）若AB∩= ∅，则cAB⊂； （5）()() () ()()\\\,\\\A BCA CB CA B CA B C∩ =∩=∪。 定理3 （D Morgan 法则） （1）()\\XAXAαααα∈Λ∈Λ∪= ∩； （2）()\\XAXAαααα∈Λ∈Λ∩= ∪； 特别的，若X 为全集，有 （3）()ccAAαααα∈Λ∈Λ∪= ∩； （4）()ccAAαααα∈Λ∈Λ∩= ∪。 定义5 设X 与Y 是两个集合，称集合 (){},|,XYx yxX yY×=∈∈是X 与Y 的直积集，简称X 与Y 的直积，其中() ()1122,,x yx y=是指12xx=且12yy=。 三、集合列的极限集 定义6 设{ }kA是一列集合，分别称集合 {}lim|kkAx→ ∞=∈k存在无穷多个k， 使 xA {}lim|kkAx→ ∞=∉k只有有限个k，使xA 是集合列{ }kA的上极限集与下极限集。 注解：①limkkxA→ ∞∈⇔存在{ ...
