导数与函数压轴题之双变量问题归纳总结教师版

导数与函数之双变量问题归纳总结 类型一：齐次划转单变量 例1 ：已知函数 1ln1a xfxxx2a .设,m nR，且mn， 求证lnln2mnmnmn. 解：设mn，证明原不等式成立等价于证明2lnmnmmnn成立，即证明21ln1mmnmnn 成立.令mtn，1t ，即证 21ln01tg ttt.由（1）得， g t 在0, 上单调递增，故  10g tg，得证. 变式1：对数函数 xf过定点21,eP，函数  为常数m,nxfmnxg，  的导函数为其中xfxf . （1）讨论 xg的单调性； （2）若对于,x0有 mnxg恒成立，且  nxxgxh2在2121xxx,xx处的导数相等，求证：  22721lnxhxh. 解：（2）因为 1gnm，而0,x  有  1g xnmg恒成立，知  g x当1x 时有最大值 1g，有（1）知必有1m . ∴    11ln,22ln,g xnx h xg xxnxxxx 依题意设  211122221120,1120kxxh xh xkkxx∴12111xx 12121212+=24xxx xx xx x ∴   121212121212112+lnln21lnh xh xxxxxx xx xxx  令 124,21lntx xttt ， 1204ttt ∴  t在4t 单调递增，∴   472ln 2t 类型二：构造相同表达式转变单变量 例 2：已知,m n 是正整数，且1mn，证明11.nmmn 解：两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明ln 1ln1nmmn，即证明ln 1ln 1mnmn ，构造函数  ln 1xfxx， 2ln 11xxxfxx，令 ln 11xg xxx，  22110111xgxxxx，故   00g xg，故 0fx，结合1,mn知   f mf n 类型三：方程消元转单变量 例 3 ：已知  ln xf xx与  g xaxb，两交点的横坐标分别为1,2x x ，12xx，求证： 12122xxg xx 解：依题意11211112222222lnlnlnlnxaxbxxaxbxxxaxbxaxbx...