1 导数文科大题 1 . 知函数 ， . （1 ）求函数 的单调区间； （2 ）若关于 的方程 有实数根，求实数 的取值范围. 答案 解析 2 2 . 已知 , (1)若 ,求函数 在点 处的切线方程; (2)若函数 在 上是增函数,求实数a的取值范围; (3)令 , 是自然对数的底数);求当实数a 等于多少时,可以使函数 取得最小值为 3. 解:(1)时,, ′(x), ′(1)=3,, 数在点处的切线方程为, 3 (2)函数在上是增函数, ′(x),在上恒成立, 即,在上恒成立, 令,当且仅当时,取等号, , 的取值范围为 (3), ′(x), ①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增, ,计算得出,满足条件; ③当,且时,即,在上单调递减,,计算得出(舍去); 综上,存在实数 ,使得当 时,有最小值3. 4 解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程. (2)函数在上是增函数,得到 f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案, (3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案 3 . 已知函数 , (1)分别求函数 与 在区间 上的极值; (2)求证:对任意 , 解:(1), 令,计算得出:,,计算得出:或, 故在和上单调递减, 在上递增, 在上有极小值,无极大值; ,,则, 故在上递增,在上递减, 在上有极大值,,无极小值; (2)由(1)知,当时,,, 5 故; 当时,, 令,则, 故在上递增,在上递减, ,; 综上,对任意, 解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及单调区间及极值; 4 . 已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性; (2)当时,求证:对任意的,. 解:(1)当时,, 则, , 故则在R 上单调递减. (2)当时,,要证明对任意的,. 则只需要证明对任意的,. 设, 看作以a为变量的一次函数,要使, 6 则,即, 恒成立,①恒成立, 对于②,令,则, 设时,,即. ,, 在上,,单调递增,在上,,单调递减, 则当时,函数取得最大值 , 故④式成立,综上对任意的,. 解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可. (2)对任意的,转化为证明对任意的,,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可. 5 . 已知函数 (1)当 时,求函数 在 处的切线方程; (2)求 在区间 上的最小值. 7 解:(1)设切线的斜率为k . 因为,所以, 所以, 所以所求的切线方程为,即 (2)根据题意得, 令,可得 ①若,则, 当 时,,则在上单调递增. 所以 ②若,则, 当 时,,则在上单调递减. 所以 ③若,则, 所以...
