经典例题导讲 [例1]已知2)2cos1(xy,则y . 错因:复合函数求导数计算不熟练,其x2 与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos1(2sin2xxy. 正解:设2uy ,xu2cos1,则)2()2sin(2)2cos1(2xxuxuuyyxux )2cos1(2sin42)2sin(2xxxu)2cos1(2sin4xxy. [例2]已知函数)1)(1(21)1)(1(21)(2xxxxxf判断f(x)在x=1 处是否可导? 错解:1)1(,1)11(21]1)1[(21lim220fxxx。 分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 . 解:1)11(21]1)1[(21limlim2200xxxyxx ∴ f(x) 在x=1 处不可导. 注: 0x,指 x 逐渐减小趋近于 0;0x,指 x 逐渐增大趋近于 0。 点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即xxfxxfx)()(lim000,△x→0,包括△x→0+,与△x→0-,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数. [例3]求322 xy在点)5,1(P和)9,2(Q处的切线方程。 错因:直接将 P ,Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析:点 P 在函数的曲线上,因此过点P 的切线的斜率就是y 在1x处的函数值; 点Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:4.4,3212xyxyxy 即过点 P 的切线的斜率为4,故切线为: 14 xy. 设过点Q 的切线的切点为 ),(00 yxT,则切线的斜率为04 x ,又2900 xykPQ, 故00204262xxx,3,1.06820020xxx。 即切线QT 的斜率为4 或12,从而过点Q 的切线为: 1 51 2,14xyxy 点评: 要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标. [例4]求证:函数 xxy1图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0 的切线方程. 分析: 由导数的几何意义知,要证函数 xxy1的图象上各点处切线的斜率都小于1,只要证它的导函数的函数值都小于1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解. 解:(1)111,12 xyxxy,即对函数 xxy1定义域内的任一x ,其导数值都小于1 ,于是由导数的几何意义可知,函...