导数经典例题1

经典例题导讲 [例1]已知2)2cos1(xy,则y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x2 与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos1(2sin2xxy. 正解：设2uy ,xu2cos1,则)2()2sin(2)2cos1(2xxuxuuyyxux )2cos1(2sin42)2sin(2xxxu)2cos1(2sin4xxy. [例2]已知函数)1)(1(21)1)(1(21)(2xxxxxf判断f(x)在x=1 处是否可导？ 错解：1)1(,1)11(21]1)1[(21lim220fxxx。 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解：1)11(21]1)1[(21limlim2200xxxyxx ∴ f(x) 在x=1 处不可导. 注： 0x，指 x 逐渐减小趋近于 0；0x，指 x 逐渐增大趋近于 0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即xxfxxfx)()(lim000，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322 xy在点)5,1(P和)9,2(Q处的切线方程。 错因：直接将 P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点 P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y 在1x处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解：4.4,3212xyxyxy 即过点 P 的切线的斜率为4，故切线为： 14 xy． 设过点Q 的切线的切点为 ),(00 yxT，则切线的斜率为04 x ，又2900 xykPQ， 故00204262xxx，3,1.06820020xxx。 即切线QT 的斜率为4 或12，从而过点Q 的切线为： 1 51 2,14xyxy 点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标． [例4]求证：函数 xxy1图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0 的切线方程. 分析： 由导数的几何意义知，要证函数 xxy1的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1）111,12 xyxxy，即对函数 xxy1定义域内的任一x ，其导数值都小于1 ，于是由导数的几何意义可知，函...