北 京 华 罗 庚 学 校 为全国学 生提供优质教育 聪明在于勤奋，天才在于积累 1 导数零点问题 导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数f(x)的单调性，往往需要解方程f′(x)＝0. 若该方程不易求解时，如何继续解题呢？ 猜——猜出方程f′(x)＝0 的根 [典例] 设 f(x)＝1＋ln xx. (1)若函数f(x)在(a，a＋1)上有极值，求实数a 的取值范围； (2)若关于 x 的方程f(x)＝x2－2x＋k 有实数解，求实数k 的取值范围． [方法演示] 解：(1)因为f′(x)＝－ln xx2 ，当0
0；当x>1 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)的极大值点为x＝1，所以a<10，当x>1 时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝2.当x→0 时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→－∞，所以函数g(x)的值域是(－∞，2]，所以所求实数k 的取值范围是(－∞，2]． [解题师说] 当所求的导函数解析式中出现 ln x 时，常猜 x＝1；当函数解析式中出现 ex时，常猜 x＝0 或 x＝ln x. [应用体验] 1．函数f(x)＝ex＋12x2－(2＋ln 2)x 的最小值为________． 答案：2－2ln 2－12ln22 解析：f′(x)＝ex＋x－(2＋ln 2)．接下来，需求函数f(x)的单调区间，所以需解不等式f′(x)≥0及f′(x)≤0，因而需解方程f′(x)＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解． 易知f′(x)是增函数，所以方程f′(x)＝0 至多有一个实数根，且可观察出此实数根就是ln 2，所以函数f(x)在(－∞，ln 2)上是减函数，在(ln 2，＋∞)上是增函数， 北 京 华 罗 庚 学 校 为全国学 生提供优质教育 聪明在于勤奋，天才在于积累 2 所以f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2－12ln22. 设——设出f′(x)＝0 的根 [典例] (2015·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数； (2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋a...
