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导数零点问题总结

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北 京 华 罗 庚 学 校 为全国学 生提供优质教育 聪明在于勤奋,天才在于积累 1 导数零点问题 导数是研究函数的有力工具,其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性.用导数研究函数f(x)的单调性,往往需要解方程f′(x)=0. 若该方程不易求解时,如何继续解题呢? 猜——猜出方程f′(x)=0 的根 [典例] 设 f(x)=1+ln xx. (1)若函数f(x)在(a,a+1)上有极值,求实数a 的取值范围; (2)若关于 x 的方程f(x)=x2-2x+k 有实数解,求实数k 的取值范围. [方法演示] 解:(1)因为f′(x)=-ln xx2 ,当00;当x>1 时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故函数f(x)的极大值点为x=1,所以a<10,当x>1 时,g′(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以g(x)max=g(1)=2.当x→0 时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→-∞,所以函数g(x)的值域是(-∞,2],所以所求实数k 的取值范围是(-∞,2]. [解题师说] 当所求的导函数解析式中出现 ln x 时,常猜 x=1;当函数解析式中出现 ex时,常猜 x=0 或 x=ln x. [应用体验] 1.函数f(x)=ex+12x2-(2+ln 2)x 的最小值为________. 答案:2-2ln 2-12ln22 解析:f′(x)=ex+x-(2+ln 2).接下来,需求函数f(x)的单调区间,所以需解不等式f′(x)≥0及f′(x)≤0,因而需解方程f′(x)=0.但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解. 易知f′(x)是增函数,所以方程f′(x)=0 至多有一个实数根,且可观察出此实数根就是ln 2,所以函数f(x)在(-∞,ln 2)上是减函数,在(ln 2,+∞)上是增函数, 北 京 华 罗 庚 学 校 为全国学 生提供优质教育 聪明在于勤奋,天才在于积累 2 所以f(x)min=f(ln 2)=2-2ln 2-12ln22. 设——设出f′(x)=0 的根 [典例] (2015·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=e2x-aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数; (2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+a...

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