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全等三角形截长补短倍长中线角平分线专题

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ADBCE图2 -1 截长补短法 人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC. 求证:∠BAD+∠BCD=180°. 分析:因为平角等于 180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现. 证明:过点 D作 DE垂直BA的延长线于点 E,作 DF⊥BC于点 F,如图1-2 BD平分∠ABC,∴DE=DF, 在Rt△ADE与 Rt△CDF中, CDADDFDE ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°, 即∠BAD+∠BCD=180° 例2. 如图2-1,AD∥BC,点 E在线段 AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB. 求证:CD=AD+BC. 分析:结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的. 证明:在CD上截取 CF=BC,如图2-2 在△FCE与△BCE中, CECEBCEFCECBCF ∴△FCE≌△BCE(SAS),∴∠2=∠1. 又 AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°, ABCD图1 -1 FEDCBA图1 -2 ADBCEF1234图2 -2 ∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4. 在△FDE与△ADE中, 43DEDEADEFDE ∴△FDE≌△ADE(ASA),∴DF=DA, CD=DF+CF,∴CD=AD+BC. 例3. 已知,如图 3-1,∠1=∠2,P为 BN上一点,且 PD⊥BC于点 D,AB+BC=2BD. 求证:∠BAP+∠BCP=180°. 分析:与例 1相类似,证两个角的和是 180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明:过点 P作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E,如图 3-2 ∠1=∠2,且 PD⊥BC,∴PE=PD, 在 Rt△BPE与 Rt△BPD中, BPBPPDPE ∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD. AB+BC=2BD,∴AB+BD+DC=BD+BE,∴AB+DC=BE即 DC=BE-AB=AE. 在 Rt△APE与 Rt△CPD中, DCAEPDCPEAPDPE ∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD 又 ∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180° 例4. 已...

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