全等三角形截长补短倍长中线角平分线专题VIP专享

ADBCE图2 -1 截长补短法 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180°. 分析：因为平角等于 180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点 D作 DE垂直BA的延长线于点 E，作 DF⊥BC于点 F，如图1-2 BD平分∠ABC，∴DE=DF， 在Rt△ADE与 Rt△CDF中， CDADDFDE ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°， 即∠BAD+∠BCD=180° 例2. 如图2-1，AD∥BC，点 E在线段 AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. 求证：CD=AD+BC. 分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD上截取 CF=BC，如图2-2 在△FCE与△BCE中， CECEBCEFCECBCF ∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1. 又 AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°， ABCD图1 -1 FEDCBA图1 -2 ADBCEF1234图2 -2 ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE与△ADE中， 43DEDEADEFDE ∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA， CD=DF+CF，∴CD=AD+BC. 例3. 已知，如图 3-1，∠1=∠2，P为 BN上一点，且 PD⊥BC于点 D，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°. 分析：与例 1相类似，证两个角的和是 180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点 P作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 3-2 ∠1=∠2，且 PD⊥BC，∴PE=PD， 在 Rt△BPE与 Rt△BPD中， BPBPPDPE ∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD. AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即 DC=BE-AB=AE. 在 Rt△APE与 Rt△CPD中, DCAEPDCPEAPDPE ∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD 又 ∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180° 例4. 已...