第1 3 讲 鸡兔同笼问题与假设法 鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的,它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题,都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。 例 1 小梅数她家的鸡与兔,数头有16 个,数脚有44 只。问:小梅家的鸡与兔各有多少只? 分析:假设16 只都是鸡,那么就应该有2×16=32(只)脚,但实际上有44 只脚,比假设的情况多了 44-32=12(只)脚,出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡,那么每换一只,头的数目不变,脚数增加了 2 只。因此只要算出 12 里面有几个 2,就可以求出兔的只数。 解:有兔(44-2×16)÷(4-2)=6(只), 有鸡16-6=10(只)。 答:有6 只兔,10 只鸡。 当然,我们也可以假设16 只都是兔子,那么就应该有4×16=64(只)脚,但实际上有44 只脚,比假设的情况少了 64-44=20(只)脚,这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔,每换一只,头的数目不变,脚数减少了4-2=2(只)。因此只要算出20 里面有几个2,就可以求出鸡的只数。 有鸡(4×16-44)÷(4-2)=10(只), 有兔16——10=6(只)。 由例1 看出,解答鸡兔同笼问题通常采用假设法,可以先假设都是鸡,然后以兔换鸡;也可以先假设都是兔,然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例2 100 个和尚140 个馍,大和尚1 人分3 个馍,小和尚1 人分1 个馍。问:大、小和尚各有多少人? 分析与解:本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。 假设100 人全是大和尚,那么共需馍300 个,比实际多300-140=160(个)。现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少3——1=2(个),因为 160÷2=80,故小和尚有80 人,大和尚有 100-80=20(人)。 同样,也可以假设100 人都是小和尚,同学们不妨自己试试。 在下面的例题中,我们只给出一种假设方法。 例3 彩色文化用品每套19 元,普通文化用品每套11 元,这两种文化用品共买了16 套,用钱280 元。问:两种文化用品各买了多少套? 分析与解:我们设想有一只“怪鸡” 有1 个头11 只脚,一种“怪兔” 有1 个头19 只脚,它们共有16 个头,280 只脚。这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 假设买了16 套彩色文化用品,则共需19×16=304(元),比实...